Runge Kutta Verfahren (Inkrementfunktion Lipschitz-stetig) |
| 07.10.2012, 20:20 | TaNinJa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Runge Kutta Verfahren (Inkrementfunktion Lipschitz-stetig) Wir betrachten die Differentialgleichung y'=f(x,y). Sei f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L. Zeigen Sie, dass für ein explizites, m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren die Inkrementfunktion \Phi(x,y,h) mit y_{i+1}=y_{i}+h\Phi(x_{i},y_{i},h) Lipschitz-stetig ist. Verifizieren Sie, dass für die Lipschitz-Konstante M von \Phi gilt: M=L(\summe_{i=1}^{m}|\alpha_{i}|+hL \summe_{i=1}^{m} \summe_{j=1}^{i-1}|\alpha_{i} \beta_{ij}|+ O(h^{2})) (Mit O ist das Landausymbol gemeint) Meine Ideen: Nun mein Ansatz: \Phi ist lipshitz-stetig, d.h es existiert ein L_{\Phi}>0, s.d: |\Phi(x,y,h)-\Phi(x,\hat y,h)|\le L_{\Phi}|y- \hat y| und dann hört es auch schon auf. Nun L ist Lischitz-Konstante von f und M ist Lipschitz-Konstante von \Phi, die \alpha_{i} und \beta_{i} repräsentieren die Koeffizienten im Butcher-Tableau? Und ich habe überhaupt keine Idee, was ich tun muss. Es wäre toll, wenn mir jemand die Schritte, die ich durchführen muss, erklären könnte. Ich bin schon so lange an dieser Aufgabe dran. Vielen Dank und mfg... 
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