Lösung einer Differentialgleichung durch den Hauptsatz

07.10.2012, 21:32

burak

Lösung einer Differentialgleichung durch den Hauptsatz

Hallo !
Ich habe schon das Forum durchgestöbert aber keine aehnliche Frage gesehen. Hoffentlich wurde die Frage bisher nicht gestellt.
Zeigen Sie dass ,
$\begin{eqnarray*} \int_0^t \! sin(t-s)f(s) \, ds \end{eqnarray*}$ = x(t)
eine Lösung der DGL
x'' + x = f
ist,wobei f : R $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ R eine stetige Funktion ist.

Da der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung F'(x) = f(x) wobei $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ sagt,habe ich x'(t) einfach gefunden und x'' auch. Aber irgendwie kann ich die Funktion nicht integrieren um x zu finden. Vielleicht ist mein Lösungsansatz falsch.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Servus.
Burak

08.10.2012, 13:44

Huggy

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RE: Lösung einer Differentialgleichung durch den Hauptsatz
Hättest du x'(t) und x''(t) wirklich korrekt gebildet, ergäbe sich kein Bedarf, ein Integral auszurechnen. Was hast du für x'(t) und x''(t) ermittelt?

08.10.2012, 14:19

burak

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x'(t) = sin(t-s)f(s)
x''(t)=d(x(t))/ds = f'(s)sin(t-s) - cos(t-s)f(s)
oder ? Ich habe dann das Integral nach t integriert um x zu finden was vermutlich falsch ist.

08.10.2012, 14:49

Huggy

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Diese Ableitungen sind nicht richtig.

Aus dem Hauptsatz der DiffInt folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^t g(s)ds =g(t) \end{eqnarray*}$

Schon diese Regel hast du nicht korrekt angewendet.
Dann gibt es noch die Regel für die Ableitung nach einem Parameter. Die hast du komplett ignoriert. Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^b g(t, s)ds =\int\limits_a^b \frac {d}{dt}g(t,s)dt \end{eqnarray*}$

Bei deinem Problem sind die beiden Regeln zu kombinieren. Denn du hast eine Ableitung der Form

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^t g(t,s)ds \end{eqnarray*}$

zu bilden. Wie lautet die Regel für die Kombination?

08.10.2012, 19:13

tmo

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Vielleicht eine Alternative:

Wenn du die Additionstheoreme für $\begin{eqnarray*} \sin(t-s) \end{eqnarray*}$ benutzt, kannst du $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ in eine Form bringen, bei der du zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'' \end{eqnarray*}$ wirklich nur den Hauptsatz (und die Produktregel) brauchst.

08.10.2012, 19:57

burak

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Vielen Dank für eure Hilfe. Aber ich komme irgendwie nicht voran. Nur um klarzustellen, ist die Herleitung $\begin{eqnarray*} x'(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(t-s)f(s) \end{eqnarray*}$ auch falsch ?

Zitat:

Original von Huggy
Diese Ableitungen sind nicht richtig.

Aus dem Hauptsatz der DiffInt folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^t g(s)ds =g(t) \end{eqnarray*}$

Schon diese Regel hast du nicht korrekt angewendet.
Dann gibt es noch die Regel für die Ableitung nach einem Parameter. Die hast du komplett ignoriert. Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^b g(t, s)ds =\int\limits_a^b \frac {d}{dt}g(t,s)dt \end{eqnarray*}$

Bei deinem Problem sind die beiden Regeln zu kombinieren. Denn du hast eine Ableitung der Form

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^t g(t,s)ds \end{eqnarray*}$

zu bilden. Wie lautet die Regel für die Kombination?

Damit habe ich leider nichts anfangen können. Hilfe

08.10.2012, 20:06

burak

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oh. $\begin{eqnarray*} x'(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ oder ? Durch Einsetzen der oberen Grenze ins Integral habe ich es gefunden.

08.10.2012, 20:13

tmo

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Nein. Du weißt offensichtlich nicht, wie das hier funktioniert:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\int\limits_a^t g(t,s)ds \end{eqnarray*}$

Warum versuchst du es dann nicht mit der Alternative, die ich dir geboten habe?

Ist etwas mehr Schreibaufwand, aber funktioniert ebenfalls wunderbar.

08.10.2012, 20:13

HAL 9000

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@burak

Nein.

...................

Du kannst es dir auch über den Grenzwert des Differenzenquotienten selbst überlegen: Ist

$\begin{eqnarray*} z(t) := \int\limits_a^t g(t,s) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

mit einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , die zudem in der ersten Komponente stetig differenzierbar ist, dann erhält man durch Einsetzen

$\begin{eqnarray*} \frac{z(t+h)-z(t)}{h} = \int\limits_a^t \frac{g(t+h,s)-g(t,s)}{h} ~ \dd s ~+~ \frac{1}{h}\int\limits_t^{t+h} g(t+h,s) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

Und jetzt bilde da mal den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \end{eqnarray*}$ ... was kommt raus?

08.10.2012, 21:37

burak

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@tmo glaube mir. Ich versuche es deinen Vorschlag aufzunehmen. Aber ich sehe es einfach nicht ein. Erstaunt1

$\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x) \int_0^t \! cos(s)f(s) \, ds \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} cos(t) \int_0^t \! sin(s)f(s) \, ds \end{eqnarray*}$
Ich habe das Additiontheorem angewendet. Wo werde ich die Produktregel verwenden ?
( Was ich vom Hauptsatz verstehe ist , $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_a^x \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ und natürlich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left[F(x)\right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} F(b) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ )
Damit wir aneinander nicht vorbeireden. Vielleicht ist mein Theoriewissen falsch. Sorry wenn ich euch auf die Nerven gehe.

08.10.2012, 21:44

tmo

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Zitat:

Original von burak

$\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} sin(x) \int_0^t \! cos(s)f(s) \, ds - cos(t) \int_0^t \! sin(s)f(s) \, ds \end{eqnarray*}$

Du meinst

$\begin{eqnarray*} x(t) = sin(t) \int_0^t \! cos(s)f(s) \, ds - cos(t) \int_0^t \! sin(s)f(s) \, ds \end{eqnarray*}$

Du hast da doch jetzt jeweils in beiden Summanden das Produkt zweier Faktoren stehen, die du beiden ableiten kannst (den vorderen Faktor sowieso und den hinteren Faktor mit dem Hauptsatz). Das ist doch dann ein Fall für die Produktregel.

08.10.2012, 22:48

burak

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ich glaub, ich habs. Tanzen

Bekommt man am Ende $\begin{eqnarray*} ((sin(t))^2+(cos(t))^2)f = f \end{eqnarray*}$ ? Was $\begin{eqnarray*} f=f \end{eqnarray*}$ bedeutet ?

09.10.2012, 08:05

HAL 9000

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Da du dich nun für den Weg von tmo entschieden hast, steht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x(t) = \sin(t) \int_0^t \cos(s)f(s) ~ \dd s - \cos(t) \int_0^t \sin(s) f(s) ~ \dd s \end{eqnarray*}$ an, zu der tmo ja auch sehr konkrete Tipps gegeben hat.

Wieso du da jetzt in einem Jubelsturm die Zeile

Zitat:

Original von burak
Bekommt man am Ende $\begin{eqnarray*} ((sin(t))^2+(cos(t))^2)f = f \end{eqnarray*}$ ? Was $\begin{eqnarray*} f=f \end{eqnarray*}$ bedeutet ?

hinknallst, bleibt mehr als rätselhaft. Wir stürmen jetzt mal nicht zu einem vermeintlichen Endergebnis, sondern fragen ganz konkret nach dem zunächst anstehenden Teilresultat:

Wie groß ist denn nun $\begin{eqnarray*} x'(t) \end{eqnarray*}$ ?

P.S.: Beim Alternativweg über den Differenzenquotienten kommt übrigens

$\begin{eqnarray*} x'(t) = \int\limits_a^t \frac{\dd}{\dd t} g(t,s) ~ \dd s ~+~ g(t,t) \end{eqnarray*}$

heraus, was auch schon Huggy oben im Sinn hatte.

09.10.2012, 08:24

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Beim Alternativweg über den Differenzenquotienten kommt übrigens

$\begin{eqnarray*} x'(t) = \int\limits_a^t \frac{\dd}{\dd t} g(t,s) ~ \dd s ~+~ g(t,t) \end{eqnarray*}$

heraus, was auch schon Huggy oben im Sinn hatte.

In der Mathematik und Physik stößt man häufig auf diese Art der Ableitung. Deshalb sollte man sich das merken. Der Alternativweg von tmo funktioniert ja nur bei diesem speziellen g(t, s).

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