Normalteiler - Beweis eines konkreten Beispiels

08.10.2012, 09:47

Brmie

Normalteiler - Beweis eines konkreten Beispiels

Meine Frage:
Ich muss für ein Übungsblatt in LinA zeigen, dass die Klein'sche Gruppe V4 Normalteiler in S4 ist. Was ein Normalteiler weiß ich und habe ich verstanden. Ich weiß nur nicht, wie ist das ZEIGEN soll.

Meine Ideen:
Da beide Gruppen endlich sind, könnte man theoretisch alle möglichen Permutationen berechnen, das sind aber 96 verschiedene Rechnungen und es gibt sicher die Möglichkeit es leichter zu zeigen - damit ich auch für Folgeaufgaben schneller eine Antwort finde.

Ich würde mich wirklich über eine schnelle Antwort freuen,
Mit freundlichen Grüßen,
Brmie

08.10.2012, 09:50

Mystic

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RE: Normalteiler - Beweis eines konkreten Beispiels
Eine Untergriuppe der S_n ist genau dann Normalteiler, wenn sie eine Vereinigung von Äquivalenzklassen bezüglich der Konjugiertheitsrelation ist... Daher geht es nur um die Frage: Wann sind zwei Permutationen in Zyklendarstellung konjugiert?

08.10.2012, 12:26

Brmie

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Wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen (wurde weder in Vorlesung noch im Skript bereits gezeigt/bewiesen/definiert)?
Ich stehe immer noch relativ auf dem Schlauch... was genau muss ich hier zeigen?

08.10.2012, 12:36

tmo

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Da Mystic gerade nicht da ist, mache ich mal weiter:

Ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine bel. Permutation und $\begin{eqnarray*} \alpha = (c_1c_2 \dotsc c_m) \end{eqnarray*}$ ein Zykel so gilt:

$\begin{eqnarray*} \sigma \alpha \sigma^{-1} = ( ~\sigma(c_1) ~ \sigma(c_2) \dotsc \sigma(c_m) ~) \end{eqnarray*}$

Für 2 disjunkte Zykel $\begin{eqnarray*} \alpha = (c_1c_2 \dotsc c_m), \beta = (d_1d_2 \dotsc d_l) \end{eqnarray*}$ ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \sigma \alpha \beta \sigma^{-1} = \sigma \alpha \sigma^{-1} \sigma \beta \sigma^{-1} = ( ~\sigma(c_1) ~ \sigma(c_2) \dotsc \sigma(c_m) ~) ( ~\sigma(d_1) ~ \sigma(d_2) \dotsc \sigma(d_l) ~) \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine Permutation (also bijektiv) ist, sind die Zykel immer noch disjunkt.

Das geht natürlich auch mit 3, 4 oder einen beliebigen Anzahl an diskunkten Zykeln.

Aus diesen einfachen Rechnungen folgt:

Wenn man ein Element der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ (gegeben als Produkt disjunkter Zykel) konjugiert, so ändert sich die Anzahl und die Länge der Zykel nicht.

Nun schau dir mal die 4 Elemente (bzw. die 3 nichttrivialen Elemente) aus der V4 an. Vielleicht dämmert es dir dann.

08.10.2012, 14:35

Brmie

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Die Länge der Zykel ändert sich nicht und der Aufbau der Zykel bleibt bei (ab)(cd) und davon sind alle in V4 aus S4 gegeben.

Ich verstehe den Beweis dazu aber nicht... vielleicht als Beispiel?

08.10.2012, 14:37

tmo

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Von welchem Beweis sprichst du denn jetzt?

Den Beweis dafür, dass V4 ein Normalteiler ist, hast du ja im Wesentlichen in der Zeile obendrüber gegeben.

08.10.2012, 14:43

Brmie

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Zitat:

Original von tmo
Da Mystic gerade nicht da ist, mache ich mal weiter:

Ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine bel. Permutation und $\begin{eqnarray*} \alpha = (c_1c_2 \dotsc c_m) \end{eqnarray*}$ ein Zykel so gilt:

$\begin{eqnarray*} \sigma \alpha \sigma^{-1} = ( ~\sigma(c_1) ~ \sigma(c_2) \dotsc \sigma(c_n) ~) \end{eqnarray*}$

Für 2 disjunkte Zykel $\begin{eqnarray*} \alpha = (c_1c_2 \dotsc c_m), \beta = (d_1d_2 \dotsc d_l) \end{eqnarray*}$ ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \sigma \alpha \beta \sigma^{-1} = \sigma \alpha \sigma^{-1} \sigma \beta \sigma^{-1} = ( ~\sigma(c_1) ~ \sigma(c_2) \dotsc \sigma(c_n) ~) ( ~\sigma(d_1) ~ \sigma(d_2) \dotsc \sigma(d_l) ~) \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine Permutation (also bijektiv) ist, sind die Zykel immer noch disjunkt.

Das versteh ich nicht so ganz... Tut mir Leid, dass ich mich so schwer tue, aber irgendwie macht's bei mir kein Klick. Vielen Dank für die Hilfe!

08.10.2012, 14:51

tmo

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Vermutlich geht es konkret um folgendes:

Zitat:

Original von tmo
Ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine bel. Permutation und $\begin{eqnarray*} \alpha = (c_1c_2 \dotsc c_m) \end{eqnarray*}$ ein Zykel so gilt:

$\begin{eqnarray*} \sigma \alpha \sigma^{-1} = ( ~\sigma(c_1) ~ \sigma(c_2) \dotsc \sigma(c_m) ~) \end{eqnarray*}$

Um das zu zeigen, muss man ja eigentlich einfach nur

$\begin{eqnarray*} (\sigma \alpha \sigma^{-1})( \sigma(c_i)) = \sigma(c_{i+1}) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq m \end{eqnarray*}$ verifizieren (wobei wir $\begin{eqnarray*} c_{m+1} := c_1 \end{eqnarray*}$ setzen).

edit: Ich hatte einmal noch m und n vertauscht. Habe ich verbessert.

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