Vollständige Induktion für 2^n>n^2

08.10.2012, 17:45

Matze84

Vollständige Induktion für 2^n>n^2

Meine Frage:
Ich soll für folgende Aussage eine vollständige Induktion durchführen.
Also Induktionsanfang (IA) dann Induktionsvorraussetzung(IV) und dann Induktionsschritt(IS)

$\begin{eqnarray*} 2^{n}>n^{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 5 n\in N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bisher bin ich so weit gekommen.
Ich setze ja meine "niedrigste" Zahl ein und prüfe ob es für diese stimmt.
IA: $\begin{eqnarray*} A\left(5\right) =2^{5} > 5^{2} = 32 > 25 \end{eqnarray*}$ --> wahr!

Dann nehme ich an,
IV: $\begin{eqnarray*} A\left(n\right) =2^{n} > n^{2} \end{eqnarray*}$ sei wahr.

und beweise das für seinen Nachfolger $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$
IS: $\begin{eqnarray*} A\left(n+1\right) =2^{n+1} > (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2^{n+1}>(n^2+2n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*2^n >(n^2+2n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2^n+2^n>n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Da ich in IV annehme, das : $\begin{eqnarray*} A\left(n\right) =2^{n} > n^{2} \end{eqnarray*}$ wahr sei, muss ich doch nur noch beweisen, das die anderen $\begin{eqnarray*} 2^n>2n+1 \end{eqnarray*}$ sind oder?

Ich hoffe ich hab das mit diesem Editor alles so weit richtig und verständlich geschrieben.

08.10.2012, 17:53

Monoid

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RE: Vollständige Induktion für [latex]2^{n}>n^{2} [/latex]
Alles richtig Augenzwinkern

Und nun kannst du wieder Annahme ausnutzen.

Edit:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ schreibst du so " \mathbb N " nur statt den " die Latex-Klammern $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} .. \end{eqnarray*}$ .

08.10.2012, 17:58

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion für [latex]2^{n}>n^{2} [/latex]

Zitat:

Original von Matze84

Meine Ideen:
Bisher bin ich so weit gekommen.
Ich setze ja meine "niedrigste" Zahl ein und prüfe ob es für diese stimmt.
IA: $\begin{eqnarray*} A\left(5\right) =2^{5} > 5^{2} = 32 > 25 \end{eqnarray*}$ --> wahr!

Also diese Gleichungs-Ungleichungskette geht ja mal gar nicht, $\begin{eqnarray*} 5^2=25 \neq 32 \end{eqnarray*}$ !!
Warum vermeidest du Implikationspfeile?

Wenn das heißen soll:

$\begin{eqnarray*} A(5): ~2^5 >5^2 \Rightarrow 32>25 \end{eqnarray*}$ , dann stimmt das, auch auf die Notation achten.....

Beim Schluss würde ich so anfangen:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2 \cdot 2^n >_{\textbf{nach Vorraussetzung}} 2 \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Nun kann man noch verwenden, dass $\begin{eqnarray*} n \geq 5 \end{eqnarray*}$ ist und man ist fertig.

...und natürlich sind auch beim Induktionsschluss die meisten Gleichheitszeichen völlig falsch....

08.10.2012, 18:14

Matze84

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Ok danke erstmal für die schnelle Antwort.
Das mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt auch gefunden.

@Igrizu

Mit der Aussage $\begin{eqnarray*} A\left(5\right)=2^{5}>5^{2}=32>25 \end{eqnarray*}$
meine ich, dass ich in meine Ausgangsgleichung die 5 einsetze,
Dadurch lautet diese $\begin{eqnarray*} 2^{5}>5^{2} \end{eqnarray*}$ und dann die Ergebnisse der beiden Seiten vergleiche

Da Formeln umstellen nicht meine stärke ist, brauch ich persönlich immer eine Schritt für Schritt Anleitung, soll heißen ich sehe oftmals nicht wie man zum Ergebnis kommt, wenn ein Schritt übersprungen wird.

Daher komme ich irgendwie nicht auf deine Aussage

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2 \cdot 2^n >_{\textbf{nach Vorraussetzung}} 2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Wie genau ist das gemeint?

Und diese Implikationspfeile, kenne ich nur von Wahrheitstabellen... Und JA mit einer solchen wirklich gut aussehenden Notation hab ichs auch nicht leicht....
Meine letzte Mathestunde ist abgesehen vom Studium jetzt ca 6Jahre her! vlt ein bisschen mehr...
Nichts destotrotz bin ich gern bereit Hilfe anzunehmen und für jeden Hinweis zu haben.

08.10.2012, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matze84
Mit der Aussage $\begin{eqnarray*} A\left(5\right)=2^{5}>5^{2}=32>25 \end{eqnarray*}$
meine ich, dass ich in meine Ausgangsgleichung die 5 einsetze,

Kann sein, dass du das "meinst", aber in einer derart falschen Gleichungs-/Ungleichungskette aufgeschrieben - das geht nicht: Wo = steht, muss auch Gleichheit herrschen, sonst kann man sich ja auf gar nix mehr verlassen.

Warum schreibst du nicht

$\begin{eqnarray*} A\left(5\right) = 2^{5} = 32 > 25 = 5^{2} \end{eqnarray*}$ ,

dann hat keiner was zu meckern. Augenzwinkern

08.10.2012, 19:53

lgrizu

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Eine Induktion betsteht doch stets aus drei Teilen:

1. Induktionsannahme
2. Induktionsanfang
3. Induktionsschritt

Wir haben die Annahme:

$\begin{eqnarray*} 2^n >n^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n >4 \end{eqnarray*}$

Dann kommt der Induktionsanfang:

n=5

$\begin{eqnarray*} 2^5=32>25=5^2 \end{eqnarray*}$ ist sicherlich richtig (und so stimmt die Notation auch....)

Zum Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$ Das ist sicherlich klar, fernerhin ist nach Induktionsvorraussetzung (wir nehmen an, wir haben das bereits für ein festes aber beliebiges n gezeigt) $\begin{eqnarray*} 2^n < n^2 \end{eqnarray*}$

Dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^n < 2 \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt mache ich dir noch einen Schritt vor und dann versuchst du es mal alleine:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^n < 2 \cdot n^2=n^2+n^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt nutze aus, dass n>5 ist.

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