Orthonormalbasis

08.10.2012, 21:58

Steffe2361

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Orthonormalbasis

Hi, ich habe folgende Frage an euch

[attach]26142[/attach]

Meine Ideen:

Ok, unter Orthonormalbasis verstehe ich, das der Basisvektor die Norm 1 hat und das sie zueinander orthogonal sind.

Weiters wird ein Vektor orthonomalisiert, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \frac{v}{||v||} \end{eqnarray*}$ . Also wenn der Vektor durch seine Norm dividiert wird.

Nun wäre ich an meine Angabe herangegangen und hätte gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ die Norm von sin(x) bzw cos(x) ist.

Jetzt komme ich nicht wirklich weiter, einzig ist mir aufgefallen, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einsetze, so erhalte ich 1 als Norm.

Ich bin für jeden Rat dankbar

mfg

08.10.2012, 22:35

zweiundvierzig

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RE: Orthonormalbasis

Zitat:

Original von Steffe2361
Ok, unter Orthonormalbasis verstehe ich, das der Basisvektor die Norm 1 hat und das sie zueinander orthogonal sind.

Das ist nicht sehr gut formuliert, aber ja, so in etwa.

Zitat:

Original von Steffe2361 ich nicht wirklich weiter, einzig ist mir aufgefallen, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einsetze, so erhalte ich 1 als Norm.

Wie, wenn Du $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst? Welche Normen müssen diese Vektoren haben und welchen Wert ihr Skalarprodukt haben? Was musst Du dazu konkret berechnen?

09.10.2012, 07:53

steffen2361

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hey, danke für deine Antwort

Zitat:

Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst?

also dies wäre hier doch

$\begin{eqnarray*} v_1 = a_1 cos(x) +a_2 sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2 = b_1cos(x) +b_2 cos(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Welche Normen müssen diese Vektoren haben?

Sie müssen alle die Norm 1 haben, da es sich um die Orthnormalität handelt

Zitat:

welchen Wert ihr Skalarprodukt haben?

Es muss den Wert $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ haben, aber da komme ich nicht ganz mit denn plötzlich geht es ja um Funktionen im Integral... verwirrt

verwirrt

Zitat:

Was musst Du dazu konkret berechnen?

Ich hätte dazu die (Ortho)Normalisierung berechnet, also $\begin{eqnarray*} \frac{v}{||v||} \end{eqnarray*}$ , nur wie ich da nun weitergehe weis ich nicht und wollte mich an euch wenden....

Habe ich das so richtig verstanden?
mfg

09.10.2012, 10:01

zweiundvierzig

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Hi, steffen2361.

Zitat:

Original von steffen2361
hey, danke für deine Antwort

Zitat:

Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst?

also dies wäre hier doch

$\begin{eqnarray*} v_1 = a_1 \cos(x) +a_2\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2 = b_1\cos(x) +b_2 {\color{red}\sin(x)} \end{eqnarray*}$

Mit meiner Korrektur: ja, das sind die Elemente im Vektorraum insgesamt. Ich meinte aber eigentlich, dass Du nochmal die Basisvektoren, um die es geht, aufschreibst.

Mache Dir außerdem klar, dass es hier wirklich um Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} x \mapsto a_1 \cos(x) +a_2\sin(x) \end{eqnarray*}$ geht, nicht um einzelne Funktionswerte $\begin{eqnarray*} a_1 \cos(x) +a_2\sin(x) \end{eqnarray*}$ für jeweils feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Denn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist schließlich Treilmenge des Raums der stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob Dir das so klar ist.

Zitat:

Original von steffen2361

Zitat:

welchen Wert ihr Skalarprodukt haben?

Es muss den Wert $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ haben, aber da komme ich nicht ganz mit denn plötzlich geht es ja um Funktionen im Integral... verwirrt

verwirrt

Ein Skalarprodukt ist schlichtweg eine positiv definite, symmetrische Bilinearform, d.h. eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V\times V \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit bestimmten Zusatzeigenschaften. Dass das definierte Produkt zwei Funktionen auf ein bestimmtes Integral abbildet, ist nach meiner obigen Bemerkung nicht verwunderlich. Du kannst weiterhin nachrprüfen, dass das so definierte $\begin{eqnarray*} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ tatsächlich auch ein Skalarprodukt ist (rechnerisch ist das nicht schwer).

Um welche beiden Basisvektoren geht es nun und wie sieht das Skalarprodukt zwischen ihnen aus?

Viele Grüße,
zweiundvierzig

09.10.2012, 11:25

steffen2361

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ok bitte verurteile mich nicht, es geht doch un die Basisvektoren die V aufspannen oder?

Somit wären die Basisvektoren doch

$\begin{eqnarray*} v_{b1} = 1cos(x)+ 0sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{b2} = 0cos(x) + 1sin(x) \end{eqnarray*}$

denn diese zwei spannen doch mein V auf oder?

Könnte ich dann sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

Also dann wäre ihr Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx = \int_0^{2\pi} \! cos(x)sin(x) \, dx = -\frac{1}{2} cos^2(x) |_0^{2\pi} = -1/2 + 1/2 = 1 \end{eqnarray*}$

Haben Sie das so gemeint?

mfg

09.10.2012, 11:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steffen2361
ok bitte verurteile mich nicht, es geht doch un die Basisvektoren die V aufspannen oder?

Ich verurteile Dich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber lies doch nochmal die Aufgabe. Was soll eine Orthonormalbasis bilden?

Zitat:

Original von steffen2361
Somit wären die Basisvektoren doch

$\begin{eqnarray*} v_{b1} = 1cos(x)+ 0sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{b2} = 0cos(x) + 1sin(x) \end{eqnarray*}$

denn diese zwei spannen doch mein V auf oder?

Diese Vektoren bilden eine mögliche Basis, aber nicht diejenige, um die es geht (s.o.). Wie Du weißt, gibt es bei Vektorräumen im allgemeinen nicht "die Basis", sondern sehr viele verschiedene.

Zitat:

Original von steffen2361
Also dann wäre ihr Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx = \int_0^{2\pi} \! cos(x)sin(x) \, dx = -\frac{1}{2} cos^2(x) |_0^{2\pi} = -1/2 + 1/2 = {\color{red}1} \end{eqnarray*}$

Ja, so berechnet man in der Tat das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , wie du sie definiert hast, aber guck Dir Dein Ergebnis nochmal an.

Edit: Wir duzen uns hier alle. Wink

Wink

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09.10.2012, 14:20

steffen2361

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Zitat:

Zitat:

Zitat:Original von steffen2361Also dann wäre ihr Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx = \int_0^{2\pi} \! cos(x)sin(x) \, dx = -\frac{1}{2} cos^2(x) |_0^{2\pi} = -1/2 + 1/2 = {\color{red}1} \end{eqnarray*}$

Ja, so berechnet man in der Tat das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , wie du sie definiert hast, aber guck Dir Dein Ergebnis nochmal an.

Ach ja, das war in der Hektik schnell gerechnet bevor mein chef wieder vorbeikommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Muss ich also die Basis nehmen die schon in der Angabe steht. Also

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x) \end{eqnarray*}$

Und jetzt hiermit das Skalarprodukt berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x)g(x) \, dx = \int_0^{2\pi} \! \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x)\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x) \, dx =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{2\pi} \! cos(x)sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Das haben wir ja schon berechnet und es kommt heraus

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{\pi}} * 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt das Skalarprodukt von <f,g> = 0 was ja bei einer Orthonormalitätsbasis zutreffen muss.

Müsste ich jetzt noch zeigen, dass diese Vektoren die Länge 1 besitzen?

mfg

09.10.2012, 14:25

zweiundvierzig

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Genau, sieht sehr gut aus. Freude

Freude

Zitat:

Müsste ich jetzt noch zeigen, dass diese Vektoren die Länge 1 besitzen?

Richtig. Wie berechnet sich denn hier die Norm $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert \end{eqnarray*}$ ?

09.10.2012, 14:42

steffen2361

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ok hier wäre das doch:

$\begin{eqnarray*} ||f|| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x))^2} \end{eqnarray*}$

und ebenfalls für mein g(x)

$\begin{eqnarray*} ||g|| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich das ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} ||f|| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x))^2} = \sqrt{\frac{1}{\pi}cos^2(x)} = \sqrt{\frac{1}{\pi} }* \sqrt{cos^2(x)} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x) \end{eqnarray*}$

hmm irgendwie dreh ich mich da im Kreis? bzw, wo liegt mein Fehler?

09.10.2012, 14:55

zweiundvierzig

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So stimmt das nicht (allein schon kommt auf den jeweils linken Seiten noch ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor, von dem die Norm wohl kaum abhängen darf).

Wie lautet denn die Formel für die durch ein gegebenes Skalarprodukt induzierte Norm $\begin{eqnarray*} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ ?

09.10.2012, 15:30

steffen2361

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Zitat:

Wie lautet denn die Formel für die durch ein gegebenes Skalarprodukt induzierte Norm $\begin{eqnarray*} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ ?

Meinst du die Polarisationsformel?

09.10.2012, 15:32

zweiundvierzig

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Die Polarisationsformel stellt einen Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt her, aber wie lautet denn überhaupt die ursprüngliche Definition für die Norm?

09.10.2012, 15:41

steffen2361

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Zitat:

aber wie lautet denn überhaupt die ursprüngliche Definition für die Norm?

diese gliedert sich doch in 3 Punkte

Definitheit: $\begin{eqnarray*} ||x|| = 0 \rightarrow x =0 \end{eqnarray*}$
Homogenität: $\begin{eqnarray*} || \lambda *x|| = |\lambda| ||x|| \end{eqnarray*}$

Deiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} ||x+y|| \le ||x|| + ||y|| \end{eqnarray*}$

Diese hier?

09.10.2012, 16:07

zweiundvierzig

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So ist eine Norm allgemein definiert, ja, aber wie sieht denn die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm aus? Denk mal an die euklidische Norm...

09.10.2012, 16:25

steffen2361

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Achso, willst du auf diese hinaus?

$\begin{eqnarray*} ||x|| = \sqrt{<x,x>} \end{eqnarray*}$

09.10.2012, 16:30

zweiundvierzig

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Ja.

09.10.2012, 16:39

steffen2361

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ok, dann würde für f(x) gelten:

$\begin{eqnarray*} ||f||= \sqrt{<\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x),\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(x)>} \end{eqnarray*}$

dann kann ich das pi herausheben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{\sqrt{\pi}}<cos(x),cos(x)>} \end{eqnarray*}$

Nur wie lös ich das nun aus, oder ist dies dann einfach

$\begin{eqnarray*} <cos(x),cos(x)> = cos^2(x) \end{eqnarray*}$

also in meiner Rechnung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{\sqrt{\pi}}<cos(x),cos(x)>} =\sqrt{\frac{2}{\sqrt{\pi}}} cos(x) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

09.10.2012, 16:42

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von steffen2361
$\begin{eqnarray*} <cos(x),cos(x)> = cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Wir hatten doch oben gesagt, was das Skalarprodukt von zwei Funktionen in unserem Raum sein soll. unglücklich

unglücklich

Edit: Und bei mir gilt auch nicht, dass $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \end{eqnarray*}$

09.10.2012, 16:55

steffen2361

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ach ja,

Forum Kloppe

(deinen edit habe ich auch schon bemerkt)

<cos(x),cos(x)> = $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! cos^2(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich beim integrieren nicht verrechnet habe folgt:

$\begin{eqnarray*} 1/2(x+sin(x)cos(x))|_0^{2\pi} = \pi \end{eqnarray*}$

also folgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{\pi}<cos(x),cos(x)>} =\sqrt{\frac{1}{\pi}\pi} = \sqrt{1} =1 \end{eqnarray*}$

Analog mit sinus

Danke für deine Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

werde morgen aber noch ein Beispiel posten, aber für heute lass ich es gut sein,

Danke dir vielmals

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