Vollständige Induktion

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09.10.2012, 21:09	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hallo! Also ich komm das erste mal mit der "Vollständigen Induktion" in Berührung und da ist mir der ganze Ablauf noch nicht ganz klar. Konkret geht es darum, zu zeigen dass $\begin{eqnarray} { 7 }^{ n }-1 \end{eqnarray}$ durch 6 teilbar ist. Ist meine Annahme richtig, dass ich somit den Term $\begin{eqnarray} \frac { { 7 }^{ n }-1 }{ 6 }=x \end{eqnarray}$ anschreiben kann? Also ich beginne mit dem Induk.Anfang indem ich mal für n=0 einsetze. Dann kommt richtig heraus 0=0: Stimmt. Und nun muss ich dann beim Induk.Schritt für alle n+1 zeigen, ist das korrekt? Also $\begin{eqnarray} \frac { { 7 }^{ n+1 }-1 }{ 6 } =x \end{eqnarray}$ Seh ich das richtig, dass nun meine aufgabe ist, auf beiden Seiten der gleichung die selbe Formel stehen zu haben? und reicht es für das "durch 6 teilbar" den Bruch zu setzen? Und ich benötige bei dieser Aufgabe aber kein Sigma-Summenzeichen, wie man dass sonst bei vielen Beispielendieser Beweistechnik immer sieht, oder?
09.10.2012, 21:21	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Hallo, muss du unbedingt die vollständige Induktion benützen? Wenn nicht, betrachte 7^n -1 = 7^n - 1^n Dann kannst du die Identität a^n-b^n =(a-b) (a^(n-1) + a^(n-2)*b +...+ b^n) anwenden. Aber mit der vollständigen Induktion ist auch eine schicke Sache, wir machen, wenn du willst, mach zuerst die ersten zwei Schritte dazu
09.10.2012, 21:52	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Hallo, sorry, das ich die zuerst ignoriert habe: Deine Idee zur Lösung des Problems mit der vollständiger Induktion ist eigentlich OK. Formuliere so: 7^n -1 = 6m wo m eine natürliche Zahl ist dann 7^n = 6m+1 dann weiter, die P(n+1) = ?
10.10.2012, 18:54	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die aufgabenstellung ist, dass ich dieses Bsp. mit vollständiger Induktion löse. Jetzt habe ich dann durch umformung also den Term: $\begin{eqnarray} { 7 }^{ n+1 }=6m+1 \end{eqnarray}$ aber wie kann ich jetzt weiter machen?? vielleicht ein kleiner Tipp?
10.10.2012, 19:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
versuche vielleicht dieses: $\begin{eqnarray} 7^{n+1}-1=7\cdot(7^n-1)+6 \end{eqnarray}$
10.10.2012, 19:31	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, aber das ist mir jetzt grad nicht klar, wie du auf das gekommen bist?!
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10.10.2012, 19:49	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
naja so schwer ist das aber nicht $\begin{eqnarray} 7^{n+1}-1=7\cdot 7^n-7+6 =7\cdot(7^n-1)+6 \end{eqnarray}$
10.10.2012, 20:08	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte um Verständnis, ich fange mit Vollständer induktion gerade erst an. Habe auch schon einige Beispiele mit Summenzeichen gelöst, wo man auf beiden Seiten einer Gleichung Terme stehen hat, aber hier ist mir nicht ganz klar wie man vorgeht. Wie kommst du denn z.b. auf +6?! Also meine Ausgangsstellung ist: $\begin{eqnarray} \frac { { 7 }^{ n+1 }-1 }{ 6 } =m \end{eqnarray}$ ich hab mal umgeformt auf: $\begin{eqnarray} \frac { { 7 }^{ n+1 } }{ 6 } =m+\frac { 1 }{ 6 } \end{eqnarray}$ Bin mir aber grad net sicher was hier eigentlich das Ziel ist.. Muss ich auf beiden Seiten die selbe Termdarstellung haben, bzw. bringt mir das ja nicht oder?
10.10.2012, 20:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
was das m soll, weiß ich auch nicht. edit: ich sehe oben, du sollst $\begin{eqnarray} 7^{n}-1=6m \end{eqnarray}$ setzen, womit du sicher stellst dass der ausdruck durch 6 teilbar ist zu deiner anderen frage: $\begin{eqnarray} -7 + 6=-1 \end{eqnarray}$ jetzt mußt du doch oben nur noch die induktionsvoraussetzung, dass der ausdruck in der klammer durch 6 teilbar sei, benutzen

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