Problem - Bestimmen von ganzrationalen Funktionen |
| 10.10.2012, 19:55 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Problem - Bestimmen von ganzrationalen Funktionen Hallo, ich habe ein Problem beim bestimmen einer ganzrationalen Funktion: "Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei x=3 und verläuft durch P(4/3) und Q(1/4)." Trotz mehrmaligen Versuches komme ich nicht auf die korrekte Lösung... 
Meine Ideen: Aus der Aufgabenstellung habe ich folgendes ermittelt: f(3) = 0 (1)27a+ 9b+3c+d = 0 f'(3) = 0 (2)27a+ 6b+ c = 0 f(4) = 3 (3)64a+16b+4c+d = 3 f(1) = 4 (4) a+ b+ c+d = 4 Am Ende steht bei mir folgendes: 48b+60c+63d = 253 3b+ 2c+ d = 0 Aber hier kann mir selbst der Taschenrechner nicht weiterhelfen! |
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| 10.10.2012, 19:59 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das am Ende deiner Rechnungen steht, hast Du einiges falsch gemacht. Es geht darum schrittweise die Zahl der vorkommenden Variablen zu reduzieren. Wenn du das richtig machst, hast Du nach dem ersten Schritt also nur noch drei Gleichungen mit drei Unbekannten, dann zwei mit zwei und schließlich eine Gleichung, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt. Edit: Hier könnte es übrigens leichter sein, eine andere Darstellung des Polynoms zu wählen, da durch das Berühren der x-Achse bei x=3 die Funktion schon recht eingeschränkt wird. In Produktform hast Du dann nur noch zwei Unbekannte bei zwei Bedingungen. |
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| 10.10.2012, 20:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kleine Bemerkung:
Die beiden letzten Gleichungen sind schon richtig. Der Fehler liegt also nicht beim Rechnen sondern bei der Wahl des Rechenweges. 
********************************************************************** **** EDIT: Im Nachfolgenden habe ich einige Beiträge, die mehr Chat-Charakter haben, aus dem Thread entfernt und hierher verschoben: Talk zu: Problem - Bestimmen von ganzrationalen Funktionen |
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| 10.10.2012, 20:24 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@sulo: Das meinte ich damit auch. Die Herangehensweise ist falsch, nicht das Ergebnis. Hatte das vielleicht nicht klar ausgedrückt. |
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| 11.10.2012, 17:56 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich benutze zum Lösen das Addition/Substraktions-Verfahren. Mein Problem ist das ich am Ende einfach nichts mehr raus rechnen kann. Mein Taschenrechner kann dies ausrechnen, jedoch habe ich zuviele Unbekannte. Ich müsste also am Ende noch z.B. das "d" rauskürzen! Könnte mir mal jemand seinen Rechenweg anhand des Additions- und Substraktionsverfahren zeigen? 
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| 11.10.2012, 18:03 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit(Helferlein): Ein Vollzitat entfernt, das andere verkürzt. Bitte nur das nötigste zitieren, da es sonst schnell unübersichtlich wird. Ich habe mich nun mal registriert, da ich mein Post nicht editieren konnte. Wie schaffe ich es zum Beispiel wie in original's Post, das 'd' aus 3 Gleichungen ein einem Zug zu entfernen?
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| 11.10.2012, 18:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die 26a und 63a sollten dir einen Hinweis geben: Hier wurden Gleichungen subtrahiert: I - IV und III - IV
edit: Und damit bin ich raus aus dem Thread, weil Helferlein ja zuerst da war. Hatte nicht gesehen, dass du anwesend bist, sonst hätte ich mich zurückgehalten. 
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| 11.10.2012, 20:42 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das dachte ich mir auch...aber es sind am Anfang ja nur 4 Gleichungen und dann subtrahiere ich zweimal mit IV? Nach der ersten Subtraktion ist die IV doch schon weg, so habe ich das zumindest gelernt? 
Also wie komme ich von 4 Gleichungen und 2 Subtraktionen auf 3 Gleichungen? |
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| 11.10.2012, 21:25 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir gehts hier nicht um die Lösung, sondern um den Weg. Wir haben I, II, III, IV. Wenn ich jetzt I - IV mache bleiben noch I-IV, II und III. So habe ich das zumindest gelernt und deswegen meine Frage...! |
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| 11.10.2012, 21:52 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da hast du was falsch verstanden. Ein System mit 4 Variablen bleibt immer ein System mit 4 Gleichungen. Es werden immer Kopien einer Gleichung verwendet. Das Original bleibt unverändert. Also I-IV = I. genauer: I:= I-IV oder : I wird ersetzt durch die Differenz von I und IV. IV bleibt. |
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| 12.10.2012, 15:09 | vegaz1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann habe ich da grundlegend etwas falsch verstanden. Aber wie kann dann IV zweimal zur Subtraktion verwendet werden und dann wegfallen? Sorry aber ich stehe hier voll auf dem Schlauch
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| 12.10.2012, 17:35 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Gleichung kannst du öfters zur Elimination von Variablen in anderen Gleichungen verwenden. Diese Gleichung kann auch selbst das Ziel einer Elimination werden, sogar 0=0 ist möglich, dann fällt diese Gleichung sozusagen weg. |
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| 12.10.2012, 17:41 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast ein System von 4 Gleichungen, die Du alle brauchen wirst, um die 4 Variablen zu bestimmen. Was Du durch die Umformungen machst ist äquivalente Gleichungen zu erzeugen, also Gleichungen deren Lösungsmenge mit der des Ausgangssystems identisch ist. Durch das Addieren oder multiplizieren ersetzt Du eine der Gleichungen (oder auch mehrere, wenn Du mehrere Schritte auf einmal machst) im Gesamtsystem. Ausgangslage ist (1) 27a+ 9b+3c+d = 0 (2) 27a+ 6b+ c = 0 (3) 64a+16b+4c+d = 3 (4) a+ b+ c+d = 4 Genau wie original vorgeschlagen hat, empfiehlt sich das Entfernen von d im ersten Schritt. Man ersetzt also Gleichung (3) durch (3)-(1) und Gleichung (4) durch (1)-(4) und somit ergibt sich (1) 27a+ 9b+3c+d = 0 (2) 27a+ 6b+ c = 0 (5) 37a+7b+c = 3 (6) 26a+8b+2c = -4 Als nächstes solltest Du das c in (5) und (6) eliminieren usw. |
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