Surjektivität von verknüpften Funktionen

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klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität von verknüpften Funktionen
Meine Frage:
Hallo Leute,

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe...

und

Ist eine der folgenden Aussagen
a), b) richtig? Wenn ja, beweise sie und finden Gegenbeispiele zu der oder den
falschen Aussagen.

a) surjektiv g surjektiv.
a) surjektiv f surjektiv.

Meine Ideen:
Also ich hab mal auf Wikipedia nachgesehen, bei der Definition von surjektiv und da stand son Beispiel dass bei g surjektiv wäre.

Ich hab dann mal und und umgekehrt gesetzt und geplotet bekomme aber in beiden Fällen eine surjektive Funktion raus.
Bedeutet das dass solang eine Funktion surrjektiv ist, bei einer Verkettung immer eine surjektive Funktion rauskommt?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hab jetzt ne Idee:

Beide Funktionen sind surjektiv. Den Beweis würde ich so führen:

Für alle x Element von M existiert ein y Element von N und Für alle y Element von N existiert ein z aus P. Das heist das Für alle x aus M existiert ein z au P.

Nun noch als Aussage (bin nicht so geübt ind Aussagenlogik, wäre deshalb froh wenn mir jemand sagen könnte ob das äquivalent zum gesprochenen ist):

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend hast du den Begriff "surjektiv" inhaltlich überhaupt nicht verstanden.

" surjektiv" bedeutet:

Auch die restliche Logik deiner Ausführungen ist irgendwie voll daneben. Ordne nochmal deine Gedanken.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh wenn ichs richtig verstanden habe dann heißt surjektiv ja dass jedem Element aus der Definitionsmenge mindestens ein Element der Bildmenge zugeordnet wird und die gesamte Bildmenge verwendet wird.
Also dass Bi f =N

Ist das so richtig?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Aussage so umschreibe:



und dann daraus schliese:


wäre das dann richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hättest du aus der Surjektivität von und auf die Surjektivität von geschlossen.

Das war aber nicht die Aufgabe, weder bei a) noch bei b). unglücklich
 
 
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ich dachte es wäre hinreichend wenn ich aus der surjektivität von auf die surjektivität von f und g schliese.
Dann brauche ich wohl nen neuen Ansatz.

Danke bis jetzt für die Hilfe smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732
Ach so, ich dachte es wäre hinreichend wenn ich aus der surjektivität von auf die surjektivität von f und g schliese.

Das wäre es ja auch, aber das hast du doch nicht gemacht. Siehst du denn nicht den Unterschied in der Logik? unglücklich

Im übrigen will ich dich mal noch drauf hinweisen, dass nur eine der beiden Aussagen a) und b) richtig ist. Bei der falschen genügt demnach ein Gegenbeispiel.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist mein Fehler dass ich aus der Surjektivität von f und g auf die Surjektivität fon schliese, anstatt umgekehrt?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich starte mal nen neuen Ansatz...

Also ist surrjektiv:



und im Fall a)



da P aber aufs Bild von f beschränkt ist kann ich schreiben:



Das müsste jetzt stimmen oder?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

ist surrjektiv:



und im Fall b)



weil jetzt aber g nicht mehr surjektiv ist gilt

DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732
ist surrjektiv:



Ich bin etwas verwirrt verwirrt . Ist jetzt als surjektiv vorrausgesetzt oder ?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

oh da hab ich mich vertippt, ich meine natürlich ...
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732


da P aber aufs Bild von f beschränkt ist kann ich schreiben:



Das müsste jetzt stimmen oder?


Das verstehe ich leider nicht. Also:

wobei hier .
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte damit dass sich g nur aus der Bildmenge der Funktion f bedienen kann.
Also nur Elemente verarbeitet die f ausspuckt.
Wäre diese denkweise richtig fùr den Beweis?
Hab etwas schwierigkeiten mit def Formulierunv logischer Aussagen...
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732
Hab etwas schwierigkeiten mit def Formulierunv logischer Aussagen...


So wie fast jeder am Anfang. Du denkst dem ist aber nicht so. f bildet auf N ab, nicht auf P.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also jetzt komplette Neuordnung...

Die Behauptung ist...







Man kann also sagen die Aussage ist richtig wenn Bi(f) ganz N umfasst also Surjektiv oder Bijektiv ist und g Surjektiv ist. Über f kann man also keine endgültige Aussage treffen.



Wenn jetzt aber g injektiv wäre würde das heißen:



Das bedeutet dass bi (g) nicht alle Elemente von P umfasst was ja eine Voraussetzung für die surjektivität ist.

Also ist Behauptung a) richtig.

Müsste so jetzt passen oder?
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732
Ok also jetzt komplette Neuordnung...

Die Behauptung ist...









Ne. Das ist nicht die Behauptung. Das ist schon der Beweis von Teil a. Dir scheint die Surjektivität noch nicht klar zu sein. Denk noch mal genau drüber nach.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs nur verschludert zwischen den beiden Aussagen hinzuschreiben dass die 2. Aussage den Aufgebenteil a) und die 3. und 4. Aussage den Aufgabenteil b) behandelt.

Wäre es in dem Fall aber prinzipiell richtig?
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klausi1732
Ok also jetzt komplette Neuordnung...

Die Behauptung ist...




Man kann also sagen die Aussage ist richtig wenn Bi(f) ganz N umfasst....


Die Aussage ist auch richtig, wenn Bi(f) nicht ganz N umfasst.


Zitat:
Original von klausi1732
Ich habs nur verschludert...


Das macht es den Helfern nicht gerade einfach. Wenn du Hilfe möchtest, dann gib dir wenigstens Mühe deine Beiträge verständlich zu formulieren.

Zitat:
Original von klausi1732

Wäre es in dem Fall aber prinzipiell richtig?


Ich kann mich nur wiederholen. Denk noch mal über die Surjektivität nach. Lies am besten auch noch mal die Beiträge von HAL 9000 in diesem Thread. Das kann nicht schaden.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für die schlecht Ausführung.

Also was ich nicht verstehe ist dass wenn Bi f nicht ganz N umfasst warum es dann trotzdem noch surjektiv ist. Wenn ich zb. als Funktion eine injektive wie f=e^x wähle und als Funktion g eine surjektive wie g=2x und dann g(fx) plotte dann kriege ich ne injektive Funktion raus.
Denn das wäre dann ja 2(e^x) oder hab ich die Funktionen falsch verkettet?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Also was ich nicht verstehe ist dass wenn Bi f nicht ganz N umfasst warum es dann trotzdem noch surjektiv ist.

wie kommst du auf diese etwas schwammige Aussage?

Zitat:
als Funktion eine injektive wie f=e^x

Das ist keine Funktion, nur die schlecht geschriebene Abbildungsvorschrift einer Funktion.
Eine Funktion besteht aus drei Dingen: Quelle (Urbildmenge, Definitionsbereich), Ziel (Wertebereich) und Abbildungsvorschrift.
z.B. ist bei , ,
bijektiv, surjektiv aber nicht injektiv weder surjektiv noch injektiv.


Mal ganz abgesehen davon:
In der Aufgabe geht es um Surjektivität. Wieso sprichst du dann die ganze Zeit von injektivität?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Hallo,

Also was ich nicht verstehe ist dass wenn Bi f nicht ganz N umfasst warum es dann trotzdem noch surjektiv ist.

Zitat:
wie kommst du auf diese etwas schwammige Aussage?


Ich hab mir nur überlegt, dass die verkettete Funktion nur dann surjektiv sein kann wenn es beide Funktionen auch sind, oder f bijektiv und g surjektiv ist, ist das so richtig?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hab mir nur überlegt, dass die verkettete Funktion nur dann surjektiv sein kann wenn es beide Funktionen auch sind, oder f bijektiv und g surjektiv ist, ist das so richtig?

Was meinst du hier mit dem oder? Die zweite Option ist in der ersten enthalten.
Und das ist falsch. Nur f muss surjektiv sein, und das ist in gewissen sinne bei dieser Aufgabe ja zu zeigen.

Zurück zur Aufgabe:
a) ist richtig
Versuche also a) zu beweisen.
Mach dir klar was du als Voraussetzung hast und was du genau beweisen willst.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ichs so aufschreibe:

Da g(f(x)) injektiv ist gilt:



Mit

Ist das so bis jetzt korrekt?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Punkt 1: Wieso sprichst du hier von Injektivät?
Punkt 2: g(f(x)) ist ein Element von P und damit i.A.m keine Funktion, kann also gar nicht injektiv sein. Du meinst wohl
Punkt 3: Wieso ist njektiv ?
Punkt 4:
Das ist mathematisches Kauderwelsch. Links von der gleicheit ist eine bbildung rechts davon ein Element der Zielmenge der Abb.. Die sind nicht gleich. Sie können nicht einmal verglichen werden.
Was du wohl meinst ist:


Bitte werde dir klar welche Begriffe du verwendest.
Zitat:
\forall z \in P \; \exists \;y \in N: g(y)=z [/latex]

Um zu zeigen, dass das gilt musst du für alle z ein y (in Abhängigkeit von z) angeben, dass die dearauffolgende Aussage erfüllt. (um das y zu finden, sehe in der Voraussetzung nach.)
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »



So müsste es dann stimmen oder? Und natürlich surjektiv...

Nun zum y,



passt das so?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit einem schlichten:
y=f(x) statt ?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer stimmt geht natürlich auch, aber damit ist es doch noch nicht bewiesen oder?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Doch.
Du musst für jedes z das passende y angeben.
Und dieses y ist nach Voraussetzung eben gerade f(x).
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke!!!

Wenn ichs jetzt richtig verstanden habe kann ich über die Funktion f nichts Aussagen oder?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig über f kann man nicht viel sagen.
Bei der b) gilt es ein gegenbsp. zur behauptung zu finden.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

So wie zb


Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

So notiert man keine Abbildungen. ganz am Anfang des Threads hast du es doch bereits richtig gemacht verwirrt

ist nicht surjektiv. Bei würde ich dich als Korrektor nach einem Beweis der Surjektivität fragen.
Als Tipp: Es gibt auch noch andere mengen als die reellen zahlen.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

So dann...

und



würde das funktionieren oder?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich seh grad f und g müssen so definiert sein:

klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank nochmal allen für die Hilfe
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