vollständige Induktion für alle N

10.10.2012, 22:11

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

vollständige Induktion für alle N

Meine Frage:
gegeben ist "Beweisen sie durch vollständige Induktion für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} =\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang war kein Problem, n=1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

nur am Induktionsschritt mangelts noch.
Wir haben gelernt dafür muss man k+1 statt n setzen, also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} =\frac{k+1}{k+1+1} \end{eqnarray*}$
Nur was setze ich dann auf der linken Seite für i?

10.10.2012, 22:31

Stefan_TM

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige Induktion für alle N
Hallo Solea,

Was passiert, wenn du 1/i(i+1) = 1/i - 1/(i+1) zerlegst ?

10.10.2012, 23:05

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige Induktion für alle N
dann passiert das ich noch immer nicht weiß was für i einsetzen smile

smile

ebenso k+1?
dann hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k+1+1} \end{eqnarray*}$

10.10.2012, 23:30

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorschlag von Stefan_TM ist zwar eine schöne Alternative, allerdings für den Beweis per Induktion nicht zielführend. Belass es lieber bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac 1{i(i+1)} \end{eqnarray*}$ .

Am $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ veränderst du erst einmal nichts, im Induktionsschritt fängst du mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac 1{i(i+1)} \end{eqnarray*}$ an, ersetzt also jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und versuchst das dann so umzuformen (unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung), dass du auf $\begin{eqnarray*} \frac {n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$ kommst, also die rechte Seite der Behauptung, wobei wieder jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzt wurde.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac 1{i(i+1)} \end{eqnarray*}$ , wie könnte das jetzt umformen um die Induktionsvoraussetzung wieder zu finden?

10.10.2012, 23:52

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

problem ist, ich versteh noch immer nicht was ich da für i esinsetzen muss... unglücklich

unglücklich

10.10.2012, 23:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Am $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ veränderst du erst einmal nichts

Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bleibt da doch erstmal stehen...oder was meinst du? verwirrt

verwirrt

Anzeige

10.10.2012, 23:59

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber wenn ich das i nicht anrühre ändert sich an $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac 1{i(i+1)} \end{eqnarray*}$ doch nichts?

11.10.2012, 00:04

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ denn überhaupt verändern? Das ist erst einmal nur der Laufindex der Summe und hat keine besondere Bedeutung. Man könnte alternativ auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{c=1}^{n+1} \frac 1{c(c+1)} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\alpha=1}^{n+1} \frac 1{\alpha(\alpha+1)} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\zeta=1}^{n+1} \frac 1{\zeta(\zeta+1)} \end{eqnarray*}$ oder... stehen. Das Summenzeichen ist ja nur eine andere Schreibweise für (in diesem Fall) $\begin{eqnarray*} \frac 1{1(1+1)}+\frac 1{2(2+1)}+\frac 1{3(3+1)}+\frac 1{4(4+1)}+\dots + \frac 1{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ .

11.10.2012, 00:25

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac 1{n+1(n+1+1)} \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2012, 08:51

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es gerne auch noch ein drittes Mal sagen:

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von Iorek
Am $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ veränderst du erst einmal nichts

Das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bleibt da doch erstmal stehen...oder was meinst du? verwirrt

verwirrt

Also noch einmal: das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wird erst einmal nicht verändert! Du beginnst im Induktionsschritt mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac 1{i(i+1)} \end{eqnarray*}$ . Das muss nun umgeformt werden. Eine Möglichkeit wäre es, den letzten Summanden aus der Summe herauszuziehen, d.h. schreibe die Summe als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac 1{i(i+1)} + ? \end{eqnarray*}$ , wobei du für das $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ den letzten Summanden einzeln ausschreibst (da kannst du nun etwas für das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ einsetzen).

11.10.2012, 11:16

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{(n+1)+(n+1+1)} \end{eqnarray*}$ und hab erst wieder i auf der linken Seite Tränen

Tränen

11.10.2012, 13:53

Gastt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von solea
dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{(n+1)+(n+1+1)} \end{eqnarray*}$ und hab erst wieder i auf der linken Seite Tränen

Tränen

Ne ne, so wird das nix!

Es sieht ganz danach aus als würdest Du zunächst einmal gut daran tun Dir über die Bedeutung der zu beweisenden Aussage, bzw. des Summenzeichens an sich, klar zu werden.
Dazu könntest Du diese Behauptung ja mal für ganz konkrete Werte von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (z.B. n=5) verifizieren.

11.10.2012, 14:12

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

Summenzeichen ist klar...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^5 \frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+\frac{1}{3(3+1)}+\frac{1}{4(4+1)}+\frac{1}{5(5+1)}=\frac{5}{5+1} \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{30}{60}+\frac{10}{60}+\frac{5}{60}+\frac{3}{60}+\frac{2}{60}=\frac{50}{60}\Rightarrow \frac{50}{60}=\frac{50}{60}\Rightarrow \frac{5}{6}=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu unterbinden.

11.10.2012, 14:44

Gastt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von solea
Summenzeichen ist klar...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^5 \frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+\frac{1}{3(3+1)}+\frac{1}{4(4+1)}+\frac{1}{5(5+1)}=\ldots \end{eqnarray*}$

Nun, da widersprichst Du Dir aber, denn das ist, so wie es da steht, falsch.

Vielmehr gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5\frac 1{k(k+1)}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+\frac{1}{3(3+1)}+\frac{1}{4(4+1)}+\frac{1}{5(5+1)}. \end{eqnarray*}$

Und demnach gilt weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^6\frac 1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^5\frac 1{k(k+1)}+\frac{1}{6(6+1)}. \end{eqnarray*}$

Kannst Du denn jetzt in entsprechender Weise aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

den letzten Summanden 'rausziehen'?

11.10.2012, 15:04

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

wenn ich da jetzt werte einsetze stimmts nicht unglücklich

unglücklich

11.10.2012, 15:07

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für doppelpost...
Es stimmt doch! Mit Zunge

Mit Zunge

(oder?)

11.10.2012, 15:21

Gastt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von solea
...wenn ich da jetzt werte einsetze stimmts nicht unglücklich

unglücklich

Das sollte es aber, da haste Dich wohl verrechnet.

Für den Induktionsschritt wäre es aber zielführender die rechte Seite der Gleichung erstmal wegzulassen.

Laut Induktionsvoraussetzung gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)}=\frac n{n+1}. \end{eqnarray*}$

Das könntest Du ja jetzt mal ins Spiel bringen und schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1{k(k+1)}=\underbrace{\sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)}}_{=\frac n{n+1}}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\ldots \end{eqnarray*}$

Nach Addition der Brüche solltest Du den entstandenen Zähler unter Beachtung der 1. binomischen Formel mal zusammenfassen und anschließend den Bruch kürzen, dann steht's da.

11.10.2012, 15:56

solea

Auf diesen Beitrag antworten »

also setze ich
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} +\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

bringe es auf den gemeisnamen Nenner
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Addiere die Brüche
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Wende die binomische Formel an
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

und kürze
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

11.10.2012, 21:22

Stefan_TM

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Solea, Hallo Iorek,

ich habe nicht gesagt, dass ich der vollständige Induktion ausweichen will(nur zu früh
offline gegangen).
Meine Lösung wäre:
P(1)=1/2, OK
P(n) = n/(n+1) vorausgesetzt, leicht nachvollziehbar durch Zerlegen des Bruchs

P(n+1) = (n+1)/(n+2), zu beweisen:

P(n) + 1/(n+1) - 1/(n+2) = (n+1)/(n+2)
=>
n/(n+1) + 1/(n+1) - 1/(n+2) = (n+1)/(n+2), Identität evident

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »