Was sind Orthogonale Zerlegungen ?

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10.10.2012, 23:17	Böttger	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind Orthogonale Zerlegungen ? Meine Frage: Hi, was sind Orthogonale Zerlegungen? Orthogonal ist ja wenn Skalarprodukt von 2 vektoren = 0 ergibt. Soweit bin ich aber was ist mit Zerlegung gemeint. Es hakt bei mir an dem begriff... Die Aufgabe lautet: gegeben sind die Vektoren des R³ a= (irgendwas) b = (irgendwas anderes) c= (nochwas anderes) halt zahlen und ich soll die orthogonale Zerlegung von a längs b und c berrechnen. könnt ihr mir irgendeinen ansatzt geben? irgendwelche seiten oder videos wo ich das nachlesen kann oder sonstiges? ihr müsst mir nichts vorrechnen wenn ihr nicht wollt aber ein paar tipps was mit zerlegung gemeint ist wäre super. Hab ja extra keine Zahlen angegeben weil ich selber verstehen will wie das geht..anders gehts ja nicht. Meine Ideen: Ist orthogonale Zerlegung das selbe wie Orthogonale Projetion ? Wenn ja was ist das? Hab versucht google zu fragen und das hat mich nur noch mehr verwirrt. Zerlegung .. irgendwie ist da eine blockade bei dem wort vielleicht sind irgendwelche winkel gemeint a b und c zum dreieck bilden halt.... oder die vektoren vereinfachen (verallgemeinern)
11.10.2012, 13:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was sind Orthogonale Zerlegungen ? Hallo, das ist tatsächlich etwas wie eine Projektion. Eine orthogonale Zerlegung eines Vektor(raum)s ist eine Summe von Vektor(räum)en, die paarweise orthogonal sind und zusammen den ursprünglichen Vektor(raum) ergeben. So ganz eindeutig finde ich diese Aufgabe aber auch nicht, deswegen habe ich bis jetzt abgewartet. Ich verstehe die Aufgabe so, dass du $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a=a_1+a_2 \end{eqnarray}$ zerlegen sollst, wobei $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ linear abhängig sind und $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ orthogonal zu den anderen Vektoren steht. Wenn jemand die Formulierung anders versteht bzw. sie doch eindeutig ist, kann er das gerne sagen. mfg, Ché Netzer
11.10.2012, 22:46	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm....R³ heißt ja 3 dimensional geben wir mal a, b und c mal zahlen wird vielleicht so leichte rsein es zu verstehen. a = (0, 1, 2) b = (2,1,0) c = (3,0,1)
11.10.2012, 22:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
So, wie ich die Aufgabe verstanden habe, würde ich jetzt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \lambda_1(b\times c)+(\lambda_2b+\lambda_3c) \end{eqnarray}$ schreiben. Anderes Beispiel: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}a&=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}&b&=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}&c&=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,.\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ Dann würde ich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ folgendermaßen zerlegen: $\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray}$ Der erste Summand ist dann orthogonal zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ; der zweite liegt in der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene. Wobei das Beispiel jetzt auch sehr einfach gewählt ist. Wie würdest du denn bei deinem vorgehen?
12.10.2012, 17:21	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Die orthogonale Zerlegung eines Vektors A bezüglich eines Vektors B ( auch als orthogonale Projektion bekannt) ist die Zerlegung des Vektors A in zwei Vektoren, einer parallel zu B und einer senkrecht zu B. In Summe ergeben diese Vektoren A. Deine Formulierung stimmt.
12.10.2012, 17:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und die Zerlegung "längs zweier Vektoren" würde ich dann wie beschrieben interpretieren. Weißt du nun auch, wie man das rechnet?
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12.10.2012, 18:46	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin es grad am suchen...
13.10.2012, 17:26	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie ich das sehe muss ich a in 2 vektoren aufteilen die paral. und senk. zu b sind. a ist (0, 1,2) a = d + f d1 +f1 =a1 d2 +f2 =a2 d3 +f3 =a3 b ist ja (2, 1, 0) damit es Senkrecht ist muss das Skalarprodukt von d und b = 0 sein also d10+d21+d32 = 0 zusammengefasst d2 +2d3= 0 damit f Parallel zu b ist muss f = qb sein f1 = q2 =2q f2 = q1 =q f3 =q*0 =0 zusammenfassen: 2q + 0 = 0 q + d2 = 1 0 + 2d3 = 2 nun muss man nur noch q und d bestimmen hoffe mal das es richtig ist .. kann es mir sonst nicht anders vorstellen
13.10.2012, 17:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hört sich richtig an Du sollst also $\begin{eqnarray} a=d+f \end{eqnarray}$ schreiben, wobei $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ist, also parallel zu $\begin{eqnarray} b\times c \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ parallel zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} d=\langle a,b\times c\rangle(b\times c) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f=\dotso b+\dotso c \end{eqnarray}$ .
13.10.2012, 17:52	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh nicht ganz deinen rechhenweg d = (a, b x c)(b x c) kannste das vielleicht in längerer form hinschreiben denn ich kann nichts mit a,b anfangen und ich versteh auch nicht wie du zu dem rechenweg gekommen bist
13.10.2012, 17:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist einfach die orthogonale Projektion mit dem Skalarprodukt. Wobei mir gerade auffällt, dass man $\begin{eqnarray} b\times c \end{eqnarray}$ noch normieren müsste... Man projiziert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} b\times c \end{eqnarray}$ . Das, was übrig bleibt, ist parallel zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ .
13.10.2012, 18:09	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich hatte noch nie orthogonale Projektion und ich danke dir für deine Hilfe!!!! aber so ganz versteh ich das noch immer nicht also (0, 1, 2) x (2, 1,0) = 1 nach deiner formel (a, b x c) * (b x c) komm ich auf (a, 1) * 1 = d a = (0,1,2) ich weiß nicht was das komma bewirkt in der Rechnung
13.10.2012, 18:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Ist etwa das Kreuzprodukt nicht bekannt?
13.10.2012, 18:12	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
und mal 1 kann ich eigentlich weglassen he he also d = (a, 1) oder ist deine Formel doch schwieriger und es versteckt sich ein Binom dahinter ? ah Mathe verdammt schwer wenn man halbwissen hat
13.10.2012, 18:15	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
ist mit x nicht das Skalarpordukt gemeint ? oh dann ergibt das mehr sinn
13.10.2012, 18:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Skalarprodukt ist $\begin{eqnarray} \langle\cdot\,,\cdot\rangle \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ bezeichnet das Kreuzprodukt.
13.10.2012, 18:38	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann bekomm ich (4, -8, -3) = b x c also d = (a, (4, -8, -3) )(4,-8,-3) ich kann leider nichts mit dem komma anfangen (hab riesen verständnislücken i know) (4,-8-3) .,.b = 0 und (4,-8-3).,.c = 0
13.10.2012, 18:42	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
also dann hab ich schonmal ein vektor der senkrecht zu den beiden ist dank des Kreuzproduktes
13.10.2012, 19:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt müsstest du $\begin{eqnarray} b\times c \end{eqnarray}$ normieren; das Resultat nenne ich mal $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Wie schreibt ihr denn das Skalarprodukt? Vielleicht kannst du mit $\begin{eqnarray} (a\cdot n)n \end{eqnarray}$ mehr anfangen als mit $\begin{eqnarray} \langle a,n\rangle n \end{eqnarray}$ .
13.10.2012, 20:52	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die schreibweise hilft dein komma war kein komma ha, hab (4,-8,-3) normiert und komme auf (0.42,-0.85,-0.32) [(0,1,2), n]n = (-0.6258, 1.2665 , 0.4768) hm...sieht nicht richtig aus ? skalar war immer ein stern und mal halt ein punkt aber naja wir haben uns ja langsam verstanden (0,1,2),n = -1.49 -1.49 mal n = (-0.6258, 1.2665 , 0.4768) wo liegt der fehler ? ich seh ihn nicht...seid stunden bin ich an dieser aufgabe dran und naja Ich danke dir nur!
13.10.2012, 21:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte ja auf die Rundung verzichtet. Woher weißt du, dass das falsch ist?
13.10.2012, 23:39	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
also (-0.6258, 1.2665 , 0.4768) ist d ? aber das ist nicht senkrecht zu b und c... und auf dem ersten blick sieht es auch nicht parallel aus deswegen dachte ich das es falsch ist erleuchte mich bitte xD
13.10.2012, 23:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau sehen die Vektoren denn aus? $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So? Dann hast du dich schon beim Kreuzprodukt verrechnet.
13.10.2012, 23:50	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
a = ( 0,1,2) b =( 2,1,0) und c = (3,0,4)
13.10.2012, 23:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist dein berechnetes $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ doch aber bis auf Rundungsfehler senkrecht zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du noch $\begin{eqnarray} a-d \end{eqnarray}$ berechnen und kannst überprüfen, ob das Ergebnis in der von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ aufgespannten Ebene liegt. (Edit: Rechne am besten mit ungerundeten Werten)
14.10.2012, 00:38	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
gepriesen sei der herr Che Netzer !!! Ich habs nun muss ich nur noch verstehen wieso das nun stimmt
14.10.2012, 09:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das Kreuzprodukt senkrecht zu seinen beiden "Faktoren" steht, ist bekannt, oder? Hier skalieren wir das nur. Wenn wir uns nicht verrechnet haben und $\begin{eqnarray} a-d \end{eqnarray}$ tatsächlich in der genannten Ebene liegt, dann liegt das daran, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R^3=\operatorname{span}n+(\operatorname{span}n)^\perp \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} (\operatorname{span}n)^\perp \end{eqnarray}$ ist nunmal $\begin{eqnarray} \operatorname{span}\{b,c\} \end{eqnarray}$ .
14.10.2012, 11:47	Lari123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir, das hilft sehr!

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