Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Ziehen mit Zurücklegen (Reihenfolgeunabhängig)

11.10.2012, 08:45

ImproSnake

Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Ziehen mit Zurücklegen (Reihenfolgeunabhängig)

Meine Frage:
Guten Tag,

ich stehe vor folgendem Problem.

Ich habe 3 Funktionalitäten A, B und C.

Nun habe ich 10000 Runde.
In jeder Runde kann entweder 1, 2 oder 3 Funktionalitäten gezogen werden.

Wie viele Funktionalitäten gezogen werden ist Zufall und wird in jeder Runde neu zufällig bestimmt.

Das ziehen erfolgt mit zurücklegen wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Das Ziel ist nun zu Wissen wie oft wird die Funktionalität A, B oder C gezogen.

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende.

1 Funktionalität gezogen Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
2 Funktionalitäten gezogen Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
3 Funktionalitäten gezogen Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Kombinationen bei 1 Funktionalität (Anzahl 3) :
- A Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
- B Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
- C Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Aus der Kombinatorik folgt für Kombinationen mit Wiederholung ohne Anordnung
$\begin{eqnarray*} K = \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit kann die Anzahl der Kombinationen bei 2 bzw 3 Funktionalitäten berechnet werden.

Kombinationen bei 2 Funktionalität (Anzahl 6) :
- AA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
- BB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
- CC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
- AB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
- AC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
- BC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Kombinationen bei 3 Funktionalität (Anzahl 10) :
- AAA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- AAB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- AAC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- ABC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

Wie oft kommt Funktionalität A vor?

Wkt. das A gezogen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{1}{3} + \frac{1}{3} *(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}) + \frac{1}{3} * \frac{6}{10}<br /> = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5} = \frac{10+15+18}{90} = \frac{43}{90} \end{eqnarray*}$

Wie oft A gezogen ? $\begin{eqnarray*} 10000 * \frac{43}{90} = ca. 4777 \end{eqnarray*}$

Bei den Funktionalitäten B und C ergeben sich die gleichen Ergebnisse, da die Wkt dort ebenfalls gleich ist.

Leider muss irgendwo ein Fehler sein, da eine Simulation eine starke Abweichung (von ca 300) erbrachte. Und wenn ich dann dort die Rundenanzahl auf 100000 erhöhe wird die Abweichung noch größer, sie sollte jedoch kleiner werden.

Mfg
ImproSnake

11.10.2012, 10:13

tmo

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Wenn A doppelt oder dreifach gezogen wird, so musst du A natürlich auch doppelt oder dreifach zählen.

Das hast du vergessen.

Man kann es sich deutlich einfacher machen:

Bezeichnet $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wie viele Funktionalitäten in einer Runde gezogen werden, so ist $\begin{eqnarray*} E(X)=2 \end{eqnarray*}$ . (Sofern X auf $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ gleichverteilt ist, aber das hast du ja vorrausgesetzt)

Nach n Runden erwartem wir also $\begin{eqnarray*} E(\sum_{i=1}^n X) = 2n \end{eqnarray*}$ gezogene Funktionalitäten.

Aufgrund der Symmetrie der Aufgabe bzgl. den Funktionalitäten A, B und C ist die erwartete Anzahl der drei Funktionalitäten also jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3} \end{eqnarray*}$ .

Deine Simulation scheint also auch noch nicht ganz richtig zu sein, wenn sie "nur" eine Abweichung von 300 gibt.

11.10.2012, 10:25

HAL 9000

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@ImproSnake

Hast du auch genau entsprechend deiner gewählten Verteilung simuliert? Wie machst du das z.B., bei genau drei gezogenenen Funktionalitäten diese Verteilung

Zitat:

Original von ImproSnake
Kombinationen bei 3 Funktionalität (Anzahl 10) :
- AAA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- AAB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- AAC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- BBC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- CCB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
- ABC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

zu simulieren? Wenn du z.B. genau dreimal unabhängig voneinander, und mit Zurücklegen ziehst, kommt eine andere Verteilung raus, nämlich die:

Zitat:

- AAA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{27} \end{eqnarray*}$
- BBB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{27} \end{eqnarray*}$
- CCC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{27} \end{eqnarray*}$
- AAB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- AAC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- BBA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- BBC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- CCA Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- CCB Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{27} \end{eqnarray*}$
- ABC Wkt: $\begin{eqnarray*} \frac{6}{27} \end{eqnarray*}$

Dasselbe Problem besteht natürlich auch schon beim Ziehen zweier Funktionalitäten.

EDIT: Oje, da habe ich aber lange nicht aktualisiert...

@tmo

Anscheinend interessiert sich ImproSnake nicht für die mittlere Anzahl der gezogenen A, sondern die mittlere Anzahl an Runden, bei denen mindestens ein A gezogen wird - das habe ich aber auch nur der Beispielrechnung so entnehmen können, in der Aufgabenformulierung steht es anders da.

11.10.2012, 10:32

tmo

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Lustigerweise hat dieser "interne" Simulationsfehler aber eigentlich doch keine Auswirkung auf die Gesamtanzahl der gezogenen A's (sofern man sie in der Simulation richtig zählt).

PS: Durch deine (HAL) Erklärung was ImproSnake eigentlich will, wird klar, dass dieser Simulationsfehler doch ein schlechten Einfluss auf das Ergebnis hat...

11.10.2012, 10:49

HAL 9000

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Allerdings komme ich mit dem anderen (mutmaßlich simulierten) Modell auf eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{43}{81} \approx 0.5309 \end{eqnarray*}$ , wo die obige Abweichung von 300 ein bisschen zu klein wäre. Vielleicht ist also doch noch ein ganz anderes Modell simuliert worden. verwirrt

Na warten wir's ab.

11.10.2012, 10:50

ImproSnake

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Danke für die Antworten.
Die Simulation läuft fehlerfrei.

In der SImulation Spielt es jedoch keine Rolle, ob A zweimal gezogen wurde. Wenn dies der Fall ist, wird nur ein A erstellt.

Also gibt A = ein A erstellt und AA = ebenfalls ein A erstellt usw.

Hatte ich vergessen zu erwähnen.

Mfg Daniel

11.10.2012, 10:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von ImproSnake
Die Simulation läuft fehlerfrei.

Und das bedeutet was in Hinblick auf meine obige Anmerkung???

11.10.2012, 10:58

ImproSnake

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Die Simulation erstellt alle notwendigen Funktionen, ich habe die Rechnung eher an die Simulation versucht anzupassen. Die bestand schon und sollte validiert werden. Sie läuft einwandfrei im hinblick darauf, was sie tun soll.

Es geht dabei um die Simulation eines Netzwerkes indem verschiedene Funktionen erstellt werden.

Es gibt keine Fehlverbindungen oder dergleichen. Das meinte ich mit Fehlerfrei Augenzwinkern

11.10.2012, 11:04

HAL 9000

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Dann muss ich eben nochmal fragen: Wird wirklich genau die Verteilung simuliert, die du oben unter "Meine Ideen" gepostet hast? Bist du dir da wirklich ganz, ganz sicher?

11.10.2012, 11:11

ImproSnake

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Oh my God, ich bin ja so verpeilt.

Es kann 1,2,3 und auch 0 gezogen werden... ach verdammt, gut ok, das ändert dann alles.

Dankte trotzdem für eure Zeit.

Mfg
ImproSnake

11.10.2012, 11:28

HAL 9000

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Ja, da habe ich jetzt einen Eindruck, wie gründlich und fehlerfrei es zugeht. Augenzwinkern

11.10.2012, 11:31

ImproSnake

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Kommando zurück. Bei java zeiht der Random generator mittelx nextInt(3) einen Wert zwischen 0 (inklusive) und 3(exklusiv) also ist doch nur von 0,1,2
verdammt wäre ja auch zu schön gewesen...

11.10.2012, 11:58

tmo

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Wir halten fest, dass die Mathematik besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Runde mind. einmal A gezogen wird bei $\begin{eqnarray*} p = \frac{43}{81} \end{eqnarray*}$ liegt, wenn wir davon ausgehen, dass die Ziehmethode die von HAL ins Spiel gebrachte ist.

Macht man das ganze Spiel analog mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Objekte und zieht in jeder Runde gleichverteilt entweder $\begin{eqnarray*} 1,2, \dotsc \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ davon, so ist die Wahrscheinlichkeit in einer Runde ein bestimmtes Objekt mind. einmal zu ziehen übrigens $\begin{eqnarray*} p_n = \frac{1}{n}+ \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ , wo mal wieder wie so oft die Zahl e ins Spiel kommt...

Die Details der Programmierung einer geeigneten Simulation des Experiments in einer bestimmten Programmiersprache sollten vermutlich eher im Informatikerboard geklärt werden.

14.10.2012, 16:39

ImproSnake

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Wie kommt die Verteilung von HAL zustande?

Er hat nämlich auf jeden Fall recht.
Ich hatte ein anderes System simuliert und zwar es können maximal 2 anstatt 3 gezogen werden....

Habe es nochmal laufen lassen und mit der [latex] \frac{43}{81} [\latex] gerechnet und dann passte das mit den Ergebnissen.

Mfg
Daniel

14.10.2012, 19:03

ImproSnake

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Hat sich erledigt. Habs verstanden. Es geht darum das bei AAB dann auch BAA und ABA zählen mit jeweils 1/27 also 3/27.

Danke für eure Hilfe. Hat mein Problem gelöst.

Kann geschlossen werden.

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