Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen

11.10.2012, 17:06

Agent 47

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Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Hallo an alle.
Ich habe ein Beispiel, bei dem ich die Folge auf Konvergenz untersuchen muss und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen muss. Allerdings komme ich bei folgendem Beispiel nicht weiter, da alle bisherigen Ansätze zu nichts führen. Es wäre eine große Hilfe, wenn mir jemand sagen könnte, wie man bei diesen Folge den Grenzwert bestimmen kann.

$\begin{eqnarray*} a_{n} =n*(\sqrt{1+1/n}-1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hmm nachdem ausmultiplizieren oder dividieren durch n zu nichts geführt hat, dachte ich man muss ein Kriterium anwenden, allerdings haben wir das gerade erst gelernt und kann mir deshalb eigentlich auch nicht vorstellen, dass es so zu lösen ist. Leider bin ich damit mit meinem Latein schon am Ende. Für jeden Anstoß in die richtige Richtung wäre ich schon dankbar!

Latex korrigiert
Mulder

11.10.2012, 17:10

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Erweitere mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{{1+ \frac{1}{n}}} +1 \end{eqnarray*}$

11.10.2012, 17:32

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Vielen Dank für die rasche Hilfe!

Wenn ich das ausmultipliziere, erhalte ich dann also n*(1+1/n-1) und der Grenzwert ist damit 1.

Ist das korrekt?

11.10.2012, 17:33

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Du sollst erweitern (!) und nicht einfach hintendran multplizieren. So, wie du es gemach hast, hast du die Folge an doch völlig verändert!

Schreib das ganze als Bruch mit 1 im Nenner und dann erweitern.

11.10.2012, 17:49

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Ja richtig...ist schon ein paar Jahre her, dass ich so etwas zuletzt gemacht habe.
Allerdings hat man doch immer nur mit der Wurzel erweitert um den Nenner rational zu machen oder? Und wenn ich in diesem Fall mit der Wurzel erweitere, erreiche ich doch genau das Gegenteil oder? Zumindest werde ich nicht alle Wurzeln los. Ich bitte um weitere Hilfe, ich habe es immer noch nicht verstanden.

11.10.2012, 17:52

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Wie, Nenner rational machen? Hier geht's um Grenzwerte!

Schreib den "neuen" Nenner doch einfach mal hin und guck dir das ganze an. Den "neuen" Zähler hast du ja schon. Du kannst, wenn du das mal so hinschreibst, den Grenzwert einfach ablesen.

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11.10.2012, 18:01

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Nein tut mir Leid, aber ich sehe das einfach nicht. Wenn ich damit erweiter, hab ich im Nenner ja wieder eine Wurzel und ich verstehe nicht was mir das bringt oder wie ich da einfach den Grenzwert sehen kann.

11.10.2012, 18:03

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Gegen was geht denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ? Oder anders gefrragt: Was passiert mit dem $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2012, 18:56

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Ah ja, richtig. Danke für die Hilfe. Also sollte der Grenzwert 1/2 sein wenn ich mich nicht wieder verrechnet habe...
Noch ein blöde Frage, dann hab ich es hoffentlich verstanden: Wieso muss man mit dem Ausdruck erweitern, bzw. woher weiß ich das?

11.10.2012, 19:05

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Ja, 1/2 stimmt.

Zitat:

Original von Agent 47
Wieso muss man mit dem Ausdruck erweitern, bzw. woher weiß ich das?

Man muss das, weil es funktioniert. Blöde Antwort, ich weiß, aber eine andere gibt es nicht.

Es ist aber ein Trick, den man ziemlich häufig anwenden kann. Vornehmlich auch, wenn Differenzen von Wurzeltermen auftauchen, z.B. sowas:

$\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt{n+5} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Also ruhig im Hinterkopf behalten. Man zielt damit dann eigentlich immer auf Anwendung der dritten binomischen Formel ab (so wird man dann die Wurzeln im "Zähler" los).

Ansonsten ist das dann auch ein bisschen Übungssache. Wenn man das nie macht, hat man natürlich für solche "Tricks" ein weniger geübtes Auge.

11.10.2012, 19:10

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Ja solch eine Antwort hatte ich bereits erwartet, ich wollte nur sicher gehen. Sorry das ich so schwer von Begriff war, aber wir haben das gerade erst gelernt (ich hab das also noch nie gemacht) und solche Beispiele auch überhaupt noch nie gerechnet.
Das nächste Beispiel ist übrigens so in der Art wie du es angegeben hast, bloß das die Wurzeln tatsächlich im Nenner stehen. Aber damit werde ich mich morgen herumschlagen.
Vielen Dank nochmals für die Hilfe!

12.10.2012, 13:47

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Nachdem mir gestern hier so großartig weitergeholfen wurde,
habe ich mich heute an einem anderen Beispiel versucht und wollte nur fragen,
ob es richtig gelöst wurde.
Und zwar:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{n}=n*(1/\sqrt{n+1}-1/\sqrt{n})=<br /> <br /> =n*(\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}*\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}) =<br /> =\frac{n}{\sqrt{n+1}*n+n*\sqrt{n}+\sqrt{n}} =\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<br /> \end{eqnarray*}$

Kann man jetzt ohne weitere Umformung sagen,
dass der Nenner unendlich groß ist und deshalb die Folge gegen 0 konvergiert,
oder muss man noch weiter umformen um das eindeutig zu beweisen?

14.10.2012, 13:52

Kris_

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Hi, ich hab das Bsp auch schon versucht zu rechnen, hier mein Thread ^^

Subtraktion von Grenzwerten

Vielleicht hilft dir das ja weiter, vl hab ich aber auch falsch erweitert -.-

14.10.2012, 14:10

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Agent 47
$\begin{eqnarray*} <br /> a_{n}=n*(1/\sqrt{n+1}-1/\sqrt{n})=<br /> <br /> =n*(\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}*\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}) =<br /> =\frac{n}{\sqrt{n+1}*n+n*\sqrt{n}+\sqrt{n}} =\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<br /> \end{eqnarray*}$

Da fehlt im letzten Schritt noch der dritte Summand im Nenner:

$\begin{eqnarray*} ... =\lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \color{red} + \frac{1}{\sqrt{n}} \color{black}}<br /> \end{eqnarray*}$

Oder hast du den Summanden dort weggelassen, weil er eh gegen 0 geht und daher keine Rolle spielt? Wäre zwar vom Gedankengang her in Ordnung, aber das sollte man dann immer irgendwie dabei schreiben.

Außerdem steht im Zähler ja eigentlich ein Minuszeichen. Denn n-(n+1) ergibt -1. Ist für den Grenzwert in diesem Beispiel natürlich egal, es wird ja null, trotzdem wollte ich da noch gerne drauf hingewiesen haben.

Der Grenzwert 0 ist jedenfalls richtig. Weiter umformen muss man da nix, dass der Nenner unendlich groß wird, ist ja offensichtlich.

Edit: Eine Anmerkung noch: Wenn du eine neue Frage hast, mag sie auch ähnlich sein, kannst du ruhig einen neuen Thread erstellen. Diesen Thread hielt ich für erledigt, daher habe ich deine erneute Nachfrage übersehen. Hätte Kris nicht geantwortet, hätte ich den Thread auch weiterhin nicht mehr wiedergefunden.

14.10.2012, 14:50

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Vielen Dank nochmals für die erneute Hilfe und in Zukunft werde ich einen neuen Thread eröffnen.
Hier hab ich ja ziemlich viele Zwischenschritte weggelassen, da der Formeleditor etwas mühsam ist, aber das mit dem Minus stimmt natürlich, in meinen eigenen Unterlagen ist es auch dort, nur hier ging es wohl verloren.
Aber der dritte Summand im Nenner müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} \end{eqnarray*}$ heißen oder?

14.10.2012, 14:55

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Agent 47
Aber der dritte Summand im Nenner müsste doch $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n} \end{eqnarray*}$ heißen oder?

Ja, und ich hoffe, wir sind uns einig, dass das das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2012, 17:39

Kris_

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Bitte meinen vorherigen Post zu ignorieren, hat sich auf ein anderes Bsp bezogen, sehe ich gerade o.o Hammer

Hammer

14.10.2012, 19:14

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Ja das ist richtig ^^
Allerdings konnte ich den Schritt nicht nachvollziehen. Wie kommt man darauf, dass so hinzuschreiben? Hat das einen Vorteil den ich nicht sehe? Denn eigentlich ist es ein zusätzlicher Schritt (für mich zumindest, denn sofort sehe ich so was nicht) der ja nicht notwendig wäre.

14.10.2012, 19:17

Mulder

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Naja, bei meiner Variante ist es halt vollständig gekürzt, soweit es geht. Wenn du irgendwo in deinen Rechnungen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{9} \end{eqnarray*}$ stehen hast, kürzt du das doch auch zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , oder?

14.10.2012, 19:27

Agent 47

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RE: Folgen auf Konvergenz untersuchen, Grenzwert bestimmen
Mag sein, dass für dich der Schritt so einfach ist wie von 3/9 auf 1/3, aber für mich ist er das nicht. ;-)
Es ist halt für mich auch logischer, weil man dann - sollte man die Klammer wieder ausmultiplizieren - gleich das richtige Ergebnis wieder stehen hat. Aber wie auch immer, ist ja auch egal!

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