g: N-->N

12.10.2012, 20:32

123test

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g: N-->N

diese frage wurde von einem user namens redd auch gefragt aber es ist nicht wirklich drauf eingegangen worden, deshalb stelle ich die frage nochmal!

definieren sie eine abbildung von g: N-->N (N=Neutrale zahlen) mit folgenden Elementen
(a) ist injektiv, und
(b) die Menge N\ Bild(g) hat unendlich viele Elemente

verstehe nicht ganz wie ich eine injektives bild erstellen soll welches N\ bild(g)
ist ! sobald ich ein bild erstelle ist es doch eine teilmenge von N !
sobald ich eine halbparabell oder sonstiges einzeichne um die vorraussetzung injektiv einzuhalten, erfülle ich die bedingung N\bild (g) mit unendlich vielen elementen nicht mehr! ist y=n wäre ne überlegung aber n ist ja auch teilmenge von N ?? kann mir evtl mal einer tip in die richtige richtung geben??

12.10.2012, 20:39

Iorek

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Du solltest zuerst einmal die Begriffe und deine Gedanken dazu ordnen. Könntest du die in b) geforderte Menge einmal mathematisch aufschreiben? Was für Elemente sind in der Menge enthalten?

12.10.2012, 20:41

lgrizu

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RE: g: N-->N
Du hast eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g: \mathbb N \to \mathbb N \end{eqnarray*}$ , diese soll injektiv sein und die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus Img(g) \end{eqnarray*}$ soll unednlich sein.

Die Menge $\begin{eqnarray*} Img(g) \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist selbstverständlich eine Teilmenge von IN, ebenso ist aber auch $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus Img(g) \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Deine Idee $\begin{eqnarray*} g(n)=n \end{eqnarray*}$ ist sicherlich nicht das erwünschte, denn da ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus Img(g)= \emptyset \end{eqnarray*}$ , da alle natürlichen Zahlen auch als Bild angenommen werden.

Welche Anforderungen ergeben sich konkret:

1. jede natürliche Zahl muss abgebildet werden (klar, die Definitionsmenge wird stets voll ausgeschöpft)

2. injektiv bedeutet, dass jede natürliche Zahl auf ein anderes Element abgebildet wird, also muss auch die Bildmenge unendlich sein

3. Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht als Bild angenommen wird muss auch unendlich sein

Es lässt sich relativ leicht eine (sogar bijektive) Abbildung finden, die diese Vorraussetzungen erfüllt.
Denke dabei einmal an den guten Hilbert.......

12.10.2012, 20:47

123test

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die definitionsmenge N bedeutet für mich das da alle zahlen inklusive der 0 enthalten sind!
N=0,1,2,3,4,5,6,7.....n,n+1
deshalb komme ich ja nicht ganz mit klar!
injektiv bedeutet doch das ich zu jeder zahl genau ein urbild habe! wenn jetzt ich irgend eine zahl aus dem wertebereich nehme ist sie eine teilmenge von N, was dann wiederum bedeuten würde N\bild(g)={} bzw das ich einzelne zahlen die in dem bild(g) liegen aus der menge N rausnehmen muss und das erfüllt die bediengung nicht

12.10.2012, 20:52

123test

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hilbert ....? der name sagt mir grad gar nichts! wird in meinem skript nicht erwähnt

12.10.2012, 20:57

Iorek

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Wie gesagt:

Zitat:

Original von Iorek
Du solltest zuerst einmal die Begriffe und deine Gedanken dazu ordnen.

Du scheinst mit den verwendeten Begriffen noch nicht vertraut zu sein, daher solltest du zu Beginn erst einmal strikt die Definitionen z.B. von Bild(g) aufschreiben, damit man damit arbeiten kann. Wie ist das Bild bzw. die Bildmenge einer Funktion definiert? Wie ist die Differenz $\begin{eqnarray*} A\setminus B \end{eqnarray*}$ von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ definiert?

Hilbert hat ein nettes "Paradoxon" konstruiert, bekannt unter Hilberts Hotel, was im Prinzip deiner Fragestellung entspricht. Wenn du noch nichts von ihm gehört hast, ist das aber nicht schlimm.

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12.10.2012, 21:10

123test

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ist richtig 100% sitzen die begriffe noch nicht !
bild(g) ist die "funktion" die entsteht welches ich einzeichne ! N=wertebereich zu N=definitionsbereich!

a\b
mach ich mal folgendes bsp welches ich als hauptbsp nehme!
N\Z={}
Z\N=0,-1,-2,....n-1 also alle negativen zahlen
\ ist die differnzmenge!

12.10.2012, 21:20

Iorek

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Löse dich von der Vorstellung, dass man Funktion immer einzeichnen kann. Bei dieser Aufgabe mag das noch der Fall sein, die wenigsten Funktionen werden sich aber einzeichnen lassen.

Als Menge ausgedrückt ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(g)=\{y\in\mathbb N~|~\exists x\in\mathbb N:g(x)=y\} \end{eqnarray*}$ . Es handelt sich also um die Menge der Werte, die wirklich angenommen werden, die also wirklich von der Funktion getroffen werden. Auch die Differenzmenge habt ihr bestimmt formal definiert, schlage diese Definition einmal nach. Danach solltest du dir mal Gedanken machen, wie man $\begin{eqnarray*} \mathbb N \setminus \operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ (als Menge) aufschreiben könnte.

12.10.2012, 21:50

123test

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es gibt im skript sowas hier f:Z-->ZxZ da wird jedes element m E M auf m abgebildet! stichwort heist in dem zusammenhang identische abbildung

idM: M-->M definiert durch idM(m)=m für alle mElement M

dann sollte meine def heissen
id(g): N-->N definiert durch id(g) (m)=m für alle m element N

identische abbildung wird genau mit 5 sätzen erklärt dem entsprechend tiefgründig ist mein horizont dafür!
so hab hilbert mal gegooglet wenn ich es richtig verstanden habe muss ich n+1 das ganze sehen oder mal 2 multiplizieren damit alle graden zimmer belegt sind!
kann hilbert aber auf mein bsp nicht ganz anwenden Hammer

Hammer

12.10.2012, 21:55

Iorek

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Ich weiß gerade nicht, wie das eine Antwort auf meine Rückfrage sein soll. verwirrt

verwirrt

Wie habt ihr die Mengendifferenz definiert, wie habt ihr sie eingeführt? Um die Abbildung kümmern wir uns erst später, zuerst sollten wir die nötigen Begriffe klären, ohne die können wir nämlich überhaupt nichts machen.

12.10.2012, 22:08

123test

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die differnezmenge
M\N :={ $\begin{eqnarray*} x|x \in M \end{eqnarray*}$ und x nicht Element von N} gesprochen : M ohne N

12.10.2012, 22:12

Iorek

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Genau diese Definition brauchen wir. Wie sieht das aus, wenn wir da jetzt einfach stur nach Definition $\begin{eqnarray*} \mathbb N\setminus \operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ für einsetzen?

12.10.2012, 22:19

123test

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das ist ja mein problem!
das ausgiebigste bsp ist die parabell im skript! sobald ich eine halbparabell erzeuge da unser werte und definitionsbereich nur N hergibt hab ich natürliche zahlen die die bediengung nicht erfüllen! ne halbparabell wäre zwae injektiv erfüllt aber N\bild(g) nicht!

12.10.2012, 22:21

Iorek

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Dann noch einmal: vergiss erst einmal alle Funktionen, die interessieren noch nicht. Setze einfach nur stur $\begin{eqnarray*} \mathbb N\setminus \operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ in die Definition ein.

12.10.2012, 22:22

123test

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N\bild (g) :={ $\begin{eqnarray*} x|x\in N \end{eqnarray*}$ und x nicht Element von bild(g)}

gesprochen : N ohne bild (g)

12.10.2012, 22:29

Iorek

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Gut, damit hätten wir die Menge bestimmt, die wir betrachten wollen. Jetzt geht es an die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ selber. Diese soll injektiv sein, außerdem soll diese Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N\setminus \operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ unendlich viele Elemente enthalten. Es sollen also unendlich viele Zahlen, nicht getroffen werden. Die von dir angesprochene (Halb-)Parabel tut es ja nicht, also muss etwas anderes her. Versuch einfach mal, mit ein paar Funktionen herumzuspielen. Wenn dir jegliche Vorstellung davon fehlt, kannst du auch mit einer Wertetabelle o.Ä. arbeiten.

12.10.2012, 22:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Iorek
Die von dir angesprochene (Halb-)Parabel tut es ja nicht

Wieso? Es sind ja wohl kaum alle natürlichen Zahlen Quadrate.

Bei der Gelegenheit an lgrizu:
Wie soll die Funktion denn unter den genannten Bedingungen bijektiv sein?

12.10.2012, 22:38

Iorek

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Iorek
Die von dir angesprochene (Halb-)Parabel tut es ja nicht

Wieso? Es sind ja wohl kaum alle natürlichen Zahlen Quadrate.

Gut, dass 123test das jetzt nicht mehr selber rausfinden kann...schließlich war es seine Aussage, dass diese Funktion die Bedingung für $\begin{eqnarray*} \mathbb N\setminus\operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt. Da hatte ich eigentlich vor, später als "Bonusfrage" drauf zurück zu kommen.

12.10.2012, 22:40

123test

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hab mir schon gedanken gemacht daher kommt ja die verzweifelung!

die überlegung g(y)=1 stelle war eine überlegung überlegung! aber 1 erfüllt die bediengung nicht da es auch in N ist!

dann um es zu verallgemeinern g(y)= n ist aber genauso eine "Zahl" von N

so nach hilli
n+1 ist ebenfals in N
die 2n-1 sollte es doch auch sein!
genau wie $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

12.10.2012, 22:49

123test

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ich tue mal so als ob ich das nicht gelesen habe damit ich mal verstehe wo der fehler ist! irgendwo muss ja ein grober fehler in meinem wissen sein!

also wenn noch interesse besteht bitte weiter ausführen!

12.10.2012, 22:57

Iorek

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Vergiss den Hilbert erst einmal.

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} <br /> x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\<br /> <br /> y & ? & ? & ? & ? & ?<br /> \end{tabular}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

Nehmen wir das mal als Wertetabelle. Kannst du diese exemplarisch so ausfüllen, dass die Funktion injektiv ist, jeder y-Wert also nur (besser: höchstens) einmal getroffen wird, es aber auch unendlich viele y-Werte gibt, die nicht getroffen werden, die also nicht im Bild der Funktion liegen?

12.10.2012, 23:02

123test

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nehmen wir g(x)=2x

1 2 3 4
2 4 6 8

12.10.2012, 23:05

Iorek

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Und das wäre schon eine passende Funktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Funktion ist injektiv, was man mit Hilfe der Definition der Injektivität zeigen könnte. Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N\setminus \operatorname{Bild}(g) \end{eqnarray*}$ enthält unendlich viele Elemente (nämlich welche?), damit ist auch die zweite Anforderung erfüllt.

12.10.2012, 23:09

123test

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nämlich welche= alle ungraden zahlen??
ich tue mich etwas schwer mit der erklärung! meine logik ist nicht ganz darauf abgestimmt!

12.10.2012, 23:11

lgrizu

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Jaja, die Bijektion war ein voreiliges Kommentar von mir, ist natürlich Blödsinn.......

Entschuldigt....

12.10.2012, 23:13

Iorek

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Die Logik stimmt aber, da du alles mit 2 multiplizierst, werden alle ungeraden Zahlen nicht getroffen (die Kenntnis über unendlich viele ungerade Zahlen setze ich mal voraus).

Jetzt können wir auch deine Parabel nochmal angehen, warum würde die Funktion auch passen? Und vllt. findest du ja auf die Schnelle noch eine (oder mehr) andere Funktionen, die auch passen würden?

12.10.2012, 23:21

123test

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ich bin immer von alllen zahlen N ausgegangen hätte nie dran gedacht das wenn ich alle ungeraden rausziehe das es dann immer noch gilt! auf diese art und weise zu denken muss ich erst noch lernen! ich tue mich etwas schwer damit ! aber im nachhinein klar ungeraden zahlen sind logischerweise auch unendlich Hammer

Hammer

parabell
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1 4 9 16
da ich ne unendliche menge N habe sollten auch die nicht getroffenen Zahlen unendlich sein! kann ich das so begründen?

12.10.2012, 23:25

Iorek

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Da würde ich eher die andere Begründung weiter oben bevorzugen. Es könnte ja sein, dass irgendwann alle weiteren Zahlen getroffen werden. Dann werden zwar hier die Zahlen 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15 nicht getroffen, das sind ja aber nicht unendlich viele. Da es aber unendlich viele natürliche Zahlen gibt, die keine Quadratzahlen sind, funktioniert auch diese Funktion (dass es wirklich unendlich viele nicht-quadratzahlen gibt müsste man streng genommen noch nachweisen, tut hier jetzt aber erstmal nichts zur Sache).

Fallen dir noch weitere Funktionen ein, die man verwenden könnte?

12.10.2012, 23:27

123test

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wie sieht das aus mit dem hilli??

12.10.2012, 23:29

Iorek

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Sieh dir deinen Post dazu von eben nochmal an, da tauchen zwei potentielle Funktionsterme auf, die man brauchen könnte.

12.10.2012, 23:35

123test

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bei n+1
1 2 3 4 0
2 3 4 5 1
da scheint es nicht ganz aufzugehen oder?

bei 2n-1
1 2 3 4
1 3 5 7

hier werden alle graden zahlen nicht getroffen bis in die unendlichkeit

bei $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

1 2 3 4
2 4 8 16

da richtig begründen fällt mir wieder etwas schwer aber denke es ist das selbe argument wie für die quadratzahlen!

12.10.2012, 23:39

Iorek

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Da gibt es jetzt verschiedene Möglichkeiten. Einerseits ist $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ immer gerade, also werden keine ungeraden Zahlen getroffen. Alternativ könnte man über Teilbarkeiten argumentieren, eine dritte Möglichkeit wäre eine Argumentation über Primzahlen...

12.10.2012, 23:46

123test

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die argumentation über primzahlen würde ich nicht hinbekommen !! wenn es nicht so kompliziert ist bitte ich dich zum abschluss drumm!

DANKE EUCH FÜR DIE ZEIT UND GEDULD DIE IHR IN MICH INVESTIERT HABT!
HOFFE HAB MICH NICHT GANZ SO BLÖD ANGESTELLT!
SCHÖN DAS ES SO EIN BOARD GIBT WO MENSCHEN WIE MIR AUF DIESE WEISE GEHOLFEN WIRD
DANKE Freude

Freude

12.10.2012, 23:48

Iorek

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Die alten Griechen sagen uns, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Wie sieht das mit Teilern bei $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ aus, wenn $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist?

13.10.2012, 00:07

123test

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da alle zahlen grade sind kann man sie durch 2 teilen!

13.10.2012, 00:10

Iorek

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Wie siehts dann mit Primzahlen aus?

13.10.2012, 00:29

123test

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die kann man nur durch 1 oder sich selbst teilein Big Laugh

Big Laugh

13.10.2012, 00:30

Iorek

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Also können wir nun was über $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ sagen?

13.10.2012, 00:36

123test

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das alle ungeraden zahlen die bediengung erfüllt da sie unendlich sind

13.10.2012, 00:41

Iorek

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Da wollten wir aber doch gar nicht hin, es war doch irgendwas mit Primzahlen geplant... verwirrt

verwirrt

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