Grenzwert bestimmen

13.10.2012, 17:19

Cheftheoretiker

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Grenzwert bestimmen

Hi Leute,

ich möchte folgenden Grenzwert bestimmen und ich frage mich ob die beiden Pfade zum zeigen des Grenzwertes reichen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Ich umschreibe es in Polarkoordinaten und fange mit dem ersten Pfad $\begin{eqnarray*} r\to 0 \end{eqnarray*}$ an.

Ich nutze aus,

$\begin{eqnarray*} x=rcos\theta \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y=rsin\theta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0}\frac{rcos\theta\cdot r^2sin^2\theta}{r^2}=\lim_{r\to 0}rcos\theta\cdot sin^2\theta=0 \end{eqnarray*}$

Der zweite Pfad wäre dann,

$\begin{eqnarray*} \lim_{\theta\to 0}\frac{rcos\theta\cdot r^2sin^2\theta}{r^2}=\lim_{r\to \theta}rcos\theta\cdot sin^2\theta=0 \end{eqnarray*}$

Demnach erhalte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist aber nun, reichen schon diese beiden Pfade um zu zeigen das der Grenzwert existiert?
Ich werde danach noch weitere Fragen bzw. Aufgaben stellen auch zu dem Thema, ich hoffe es geht in Ordnung wenn ich in dem Thread weitere Aufgaben zu dem Thema stelle?

Schonmal vielen Dank! smile

smile

13.10.2012, 17:27

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Hallo,

in Polarkoodinaten reicht es aus, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bei beliebigem/variablem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen zu lassen. (überlege dir das daran, was die beiden Variablen symbolisieren)
Wenn du $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gegen Null laufen lässt, müsstest du zur Annäherung an den Nullpunkt ja sowieso schon $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen, wodurch das ganze sinnlos wäre.

Ansonsten könntest du auch
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right\rvert\leq\left\lvert\frac{xy^2}{0+y^2}\right\rvert \end{eqnarray*}$
(für $\begin{eqnarray*} y\neq0 \end{eqnarray*}$ ) benutzen.

Ohne die Umwandlung in Polarkoordinaten reicht es aber natürlich nicht, nur zwei Pfade zu betrachten, siehe $\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

mfg,
Ché Netzer

13.10.2012, 17:39

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Vielen Dank, das hat mir schonmal ziemlich weiter geholfen.

Zitat:

in Polarkoodinaten reicht es aus, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bei beliebigem/variablem $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen zu lassen. (überlege dir das daran, was die beiden Variablen symbolisieren)
Wenn du $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ gegen Null laufen lässt, müsstest du zur Annäherung an den Nullpunkt ja sowieso schon $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen, wodurch das ganze sinnlos wäre.

klingt absolut logisch, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gibt ja den Radius an und wenn $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ existiert ja so gesehen auch garkein Winkel. Forum Kloppe

Forum Kloppe

.

Wenn ich die Aufgabe in kartesischen Koordinaten angehe, würde ich folgendermaßen vorgehen. (Deine Aufgabe kommt danach dran.)

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

1. Pfad: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot 0^2}{x^2+0^2}=\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^2}=0 \end{eqnarray*}$

2. Pfad: $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0}\frac{y\cdot y^2}{y^2+y^2}=\lim_{y\to 0}\frac{y^3}{2y^2}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Das würde reichen?

13.10.2012, 17:42

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Nein, eben nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stell dir das als Landschaft vor.
Wenn du dort in zwei Richtungen (bzw. vier mit Vorzeichen) siehst, und es dort jeweils nach unten geht, sagst du auch nicht sofort, dass du auf einem Berggipfel stehst. Es könnte ja sein, dass es irgendwo dazwischen (z.B. "im Nordosten") doch noch nach oben geht.

Deswegen auch das Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ . Da kannst du zwei Pfade finden, für die man auf Null kommt, aber das ist nicht der Grenzwert.

13.10.2012, 17:45

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Und wieviele muss man betrachten? Big Laugh

Big Laugh

13.10.2012, 17:50

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Alle. Also alle überabzählbar viele Big Laugh

Big Laugh

Da das meist ein wenig dauert, ist es oft empfehlenswert, gleich allgemeine Folgen/Pfade zu betrachten, also entweder über Polarkoordinaten oder über Abschätzungen oder was einem noch so einfällt.

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13.10.2012, 17:55

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Okay, da bleibe ich lieber bei der Methode mit der Umwandlung in Polarkoordinaten. smile

smile

Die Funktion ist aber auch nicht stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(0,0) \end{eqnarray*}$ oder? Weil es muss ja gelten

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=f(0,0) \end{eqnarray*}$ und dem ist ja nicht so da man in $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ garnicht die Werte einsetzen darf?

13.10.2012, 17:57

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Auf Stetigkeit kommt es ja gar nicht an, wir reden nur über die Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) \end{eqnarray*}$ .

13.10.2012, 17:59

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Ja, dass wäre aber meine weitere Frage gewesen ob die Funktion punktstetig im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(0,0) \end{eqnarray*}$ ist. smile

smile

13.10.2012, 18:00

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Dazu müsste man $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ erst irgendwie definiert haben. Ohne eine Angabe dazu kann man nur sagen, ob die Funktion stetig fortsetzbar ist.

13.10.2012, 18:04

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Stetig fortsetzbar ist sie weil der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x,y)~0 \end{eqnarray*}$ ist oder?
Was meinst du denn mit

Zitat:

Dazu müsste man $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ erst irgendwie definiert haben.

verwirrt

13.10.2012, 18:06

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Ja, weil der Grenzwert existiert, kann man die Funktion per
$\begin{eqnarray*} f(0,0):=\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \end{eqnarray*}$
stetig fortsetzen.

Zur zweiten Frage:
Wenn eine Funktion irgendwo nicht definiert ist, kann man dort auch nicht von Stetigkeit sprechen.
Was z.B., wenn ich frage, ob $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ an der Stelle Null stetig ist? Dazu müsste man $\begin{eqnarray*} \ln(0) \end{eqnarray*}$ irgendeinen Wert zuweisen, bevor man das untersuchen könnte.

13.10.2012, 18:20

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Okay, das habe ich nun verstanden. smile

smile

Noch eine Frage zu dem Pfad habe ich, ich kann also demnach jeden Pfad wählen der durch die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht? Also zum Beispiel auch den Pfad

Pfad: $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ geht ja auch durch $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ . So kann ich mir das nur erklären. verwirrt

verwirrt

zweite Frage: Ist es eigentlich Zufall das allen Aufgaben die mir unter gekommen sind immer der Grenzwert im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ betrachtet werden soll? verwirrt

verwirrt

13.10.2012, 18:23

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Noch eine Frage zu dem Pfad habe ich, ich kann also demnach jeden Pfad wählen der durch die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht? Also zum Beispiel auch den Pfad

Pfad: $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ geht ja auch durch $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ . So kann ich mir das nur erklären. verwirrt

verwirrt

Ja, du kannst dich auf beliebigen Wegen an den entsprechenden Punkt annähern. In diesem Beispiel etwa "parabelförmig", du könntest dich aber auch auf einer Spirale annähern.
Die üblichsten Wege sind $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (0,\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n,\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (\tfrac1{n^2},n) \end{eqnarray*}$ etc.

Zitat:

zweite Frage: Ist es eigentlich Zufall das ich bis jetzt in allen Aufgaben die mir unter gekommen sind immer der Grenzwert im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ betrachtet werden soll? verwirrt

verwirrt

Jein. Eigentlich ist es egal, welchen Punkt man betrachtet, aber der Nullpunkt wird SEHR gern verwendet. Du könntest auch $\begin{eqnarray*} \frac{(x-3)y^2}{(x-3)^2+y^2} \end{eqnarray*}$ betrachten; dann für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to(3,0) \end{eqnarray*}$ .
Oder $\begin{eqnarray*} \frac1{x-\ln\lvert y\rvert} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to(0,1) \end{eqnarray*}$ .

13.10.2012, 18:34

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Vielen Dank für die tolle Erklärung. Bei weiteren Fragen werde ich mich wieder melden. smile

smile

13.10.2012, 20:16

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Ich muss den Thread doch noch einmal aufgreifen. Ich habe mich nun mal an die Aufgabe von dir gesetzt und zwar, $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (3,0)}\frac{(x-3)y^2}{(x-3)^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ einsetze erhalte ich einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ .

Nun befolge ich deinen Ratschlag und überführe den Ausdruck in Polarkoordinaten. Nun ist aber die Frage, muss ich mir hier auch wieder nur $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ anschauen? verwirrt

verwirrt

Weil dieses mal ist der Punkt ja nicht $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 3}\frac{(rcos\theta-3)r^2sin^2\theta}{(cos\theta-3)^2+r^2sin\theta} \end{eqnarray*}$

Nach ein paar Umformungen bin ich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 3}\frac{r^3cos\theta\cdot sin^2\theta-3r^2sin^2\theta}{r^2-6rcos\theta+9} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte. verwirrt

verwirrt

Wenn ich nun den Grenzübergang mache, erhalte ich: $\begin{eqnarray*} =\frac{27cos\theta sin^2\theta-27sin^2\theta}{18-18cos\theta} \end{eqnarray*}$

Was ja garkein Punkt ist. Muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} \theta=0 \end{eqnarray*}$ auch noch einsetzen oder wie? verwirrt

verwirrt

13.10.2012, 21:15

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Da hast du die falschen Koordinaten verwendet. Nimm lieber
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$

13.10.2012, 21:43

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Ich wusste garnicht das man es auch so schreiben kann. geschockt

geschockt

Dann auch wieder $\begin{eqnarray*} r\to 3 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 3}\frac{rcos\theta\cdot r^2sin^2\theta}{r^2cos^2\theta+r^2sin\theta} \end{eqnarray*}$

So? verwirrt

verwirrt

13.10.2012, 21:48

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Nein, dann natürlich $\begin{eqnarray*} r\to0 \end{eqnarray*}$ . Du hast sozusagen als "Zentrum" den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann addierst du dazu einen Vektor der Länge $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in beliebiger Richtung. Und wenn du dich an dieses "Zentrum" annäherst, geht $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gegen Null.

13.10.2012, 21:53

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Okay, ich habe jetzt etwas rumgerechnet und komme nun auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (3,0)}\frac{(x-3)y^2}{(x-3)^2+y^2}=0 \end{eqnarray*}$

Ich spiele die Aufgabe jetzt auch noch einmal in kartesischen Koordinaten durch. Wenn da noch eine Frage auftaucht, melde ich mich wieder.

smile

smile

Edit: Mit kartesischen Koordinaten wird das wohl nichts. Big Laugh

Big Laugh

13.10.2012, 21:54

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Mit $\begin{eqnarray*} \tilde x=x-3 \end{eqnarray*}$ wärst du ja auch genau bei deiner Aufgabe von vorhin, passt also Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2012, 22:04

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Ich habe jetzt einfach mal die Pfade

1. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to 3 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} y=3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$ gewählt und siehe da, der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank Che! smile

smile

Gruß CT

13.10.2012, 22:25

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Zwei Pfade zu betrachten reicht aber wie gesagt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2012, 22:29

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Che Netzer
Zwei Pfade zu betrachten reicht aber wie gesagt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jap, ich werde die Lebensaufgabe jemand anderes auf's Auge drücken. Big Laugh

Big Laugh

13.10.2012, 22:31

Che Netzer

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RE: Grenzwert bestimmen
Du kannst ja auch $\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{(x-3)y^2}{(x-3)^2+y^2}\right\rvert \end{eqnarray*}$ abschätzen und zeigen, dass dieser Term dann ganz allgemein für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to(3,0) \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

13.10.2012, 22:33

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert bestimmen
Lieber nicht, ich bin froh das ich den anderen Weg nun einigermaßen verstanden habe. Hammer

Hammer

Ich werde aber nochmal darauf zurück kommen.

Schönen Gruß, CT smile

smile

14.10.2012, 16:12

Fragen über Fragen

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Vermutlich übersehe ich da etwas, aber bestimmt man nicht durch Einsetzen von x=rcos(phi) und y=rsin(phi) die Richtungsgrenzwerte? Wenn ja, dann zeigt die Existenz und Gleichheit aller Richtungsgrenzwerte noch nicht die Existenz des Grenzwertes.

14.10.2012, 16:17

Che Netzer

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Wenn man $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dabei fest ließe, dann ja, aber wenn man keinerlei Einschränkungen macht, kann das auch jeder beliebigen Annäherung entsprechen.
Wenn man z.B. auf etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac r{\cos\varphi} \end{eqnarray*}$ käme, würde es nicht mehr funktionieren. Aber hier ging es ja immer auf.

D.h. man kann jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ auch als Folge $\begin{eqnarray*} r_n(\cos\varphi_n,\sin\varphi_n) \end{eqnarray*}$ schreiben, braucht dann aber (bei Annäherung an Null) nur $\begin{eqnarray*} r_n\to0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

14.10.2012, 16:30

Leopold

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Zunächst einmal ist das Ganze, indem man $\begin{eqnarray*} x-3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ substituiert, äquivalent zur Frage nach der Existenz des Grenzwerts

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|x| \cdot y^2}{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Das wurde ja bereits gesagt. Für $\begin{eqnarray*} z = (x,y) \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm. Dann gelten bekanntermaßen

$\begin{eqnarray*} |x| \leq |z| \, , \ \ |y| \leq |z| \end{eqnarray*}$

Und damit kann man leicht abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x| \cdot y^2}{x^2 + y^2} \leq \frac{|z| \cdot |z|^2}{|z|^2} = |z| \end{eqnarray*}$

Und das kann man sicher $\begin{eqnarray*} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ machen, wenn $\begin{eqnarray*} |z| < \delta \end{eqnarray*}$ ist. Trivialerweise kann man $\begin{eqnarray*} \delta = \varepsilon \end{eqnarray*}$ nehmen.

14.10.2012, 16:35

Fragen über Fragen

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn man $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dabei fest ließe, dann ja, aber wenn man keinerlei Einschränkungen macht, kann das auch jeder beliebigen Annäherung entsprechen.
Wenn man z.B. auf etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac r{\cos\varphi} \end{eqnarray*}$ käme, würde es nicht mehr funktionieren. Aber hier ging es ja immer auf.

D.h. man kann jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ auch als Folge $\begin{eqnarray*} r_n(\cos\varphi_n,\sin\varphi_n) \end{eqnarray*}$ schreiben, braucht dann aber (bei Annäherung an Null) nur $\begin{eqnarray*} r_n\to0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Danke für die Aufklärung! Aber bei r/cos(phi) existieren auch nicht alle Richtungsgrenzwerte, oder? (für phi= pi/2 oder phi= 3/2 pi)

14.10.2012, 16:40

Che Netzer

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Ja, genau deswegen habe ich es als Gegenbeispiel gewählt.
Für ein komplettes Beispiel betrachte
$\begin{eqnarray*} \frac{xy^2}{x^2+y^4}\,. \end{eqnarray*}$
Das ergibt
$\begin{eqnarray*} \frac{r\sin^2\varphi\cos\varphi}{\cos^2\varphi+r^2\sin^4\varphi}\,. \end{eqnarray*}$
Für festes $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ käme man damit auch immer auf Null, aber das will man bei dieser Methode ja nicht.

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