Umkehrfunktionen bilden

13.10.2012, 17:35

JanHN

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Umkehrfunktionen bilden

Folgende Aufgabenstellung:

Geben Sie zu folgenden Funktionen die jeweiligen Umkehrfunktion an. Schränken Sie hierzu den maximal möglichen Definitionsbereich von f bei Bedarf ein. Skizzieren Sie die Graphen von f und f^-1.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt[4]{x} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{4} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(x)= 10^{2x} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} f(x)= 1 + \frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Also, meine Ansätze für a) und b) .. öhm, das sind ja jeweils die Umkehrfunktionen voneinander, oder?

Gibt es zufällig im Internet ne Möglichkeit, wie ich mir den Graph von $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt[4]{x} \end{eqnarray*}$ anschauen kann? Scheitert immer an der Eingabe der 4. Wurzel, bzw. überhaupt Wurzel eingeben...

13.10.2012, 17:50

Cheftheoretiker

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RE: Umkehrfunktionen bilden
Hi,

wir haben auch im Board einen Funktionsplotter. Schau mal in der Tag Leiste. smile

smile

Wie würdest du denn vorgehen bei der a) und bei der b) ? geraten wird hier nämlich nicht. Big Laugh

Big Laugh

14.10.2012, 07:58

JanHN

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Recht haste.. erzieh mal de Jung ordentlisch Big Laugh

Big Laugh

Also bei a) und b) bin ich mir sicher, dass beides die Umkehrfunktionen voneinander sind.
Sprich: Ich löse nach x auf und tausche anschließend die Variablen.
Dann hab ich eine Wertetabelle erstellt und den Spaß gezeichnet.

Aaaber bei c) komme ich ins Stocken. Nun weiß ich noch, dass die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion die Log.-Funktion ist.
Dann wären meine Schritte:
$\begin{eqnarray*} y=2x*log(10) \end{eqnarray*}$
Teilen durch 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = x*log(10) \end{eqnarray*}$
Und dann durch $\begin{eqnarray*} log(10) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{y}{2} }{log(10)} = x \end{eqnarray*}$
Es fühlt sich falsch an.

14.10.2012, 11:42

Cheftheoretiker

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Zitat:

Also bei a) und b) bin ich mir sicher, dass beides die Umkehrfunktionen voneinander sind.
Sprich: Ich löse nach x auf und tausche anschließend die Variablen.
Dann hab ich eine Wertetabelle erstellt und den Spaß gezeichnet.

Also um zu testen ob die Funktion umkehrbar ist, schaust du dir folgendes an.

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(f(x))=x \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Ausgangsfunktion ist und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ deine berechnete Umkehrfunktion. Du bildest also die Komposition der beiden Funktionen und wenn in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ herauskommt, kannst du dir sicher sein das es die Umkehrfunktion ist. smile

smile

Zitat:

Aaaber bei c) komme ich ins Stocken. Nun weiß ich noch, dass die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion die Log.-Funktion ist.
Dann wären meine Schritte:
$\begin{eqnarray*} y=2x*log(10) \end{eqnarray*}$
Teilen durch 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = x*log(10) \end{eqnarray*}$
Und dann durch $\begin{eqnarray*} log(10) \end{eqnarray*}$ verwirrt verwirrt
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{y}{2} }{log(10)} = x \end{eqnarray*}$
Es fühlt sich falsch an.

Dein Ansatz ist schonmal nicht schlecht. Wenn du aber logarithmirst, musst du das auch auf beiden Seiten machen. Als erstes tauschen wir mal die Variablen

$\begin{eqnarray*} x=10^{2y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(x)=2y\cdot ln(10) \end{eqnarray*}$

Nun nach y auflösen und die berechnete Umkehrfunktion wieder mit $\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(f(x))=x \end{eqnarray*}$ testen. smile

smile

14.10.2012, 16:42

JanHN

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sry für die späte Antwort; gab bei Muddan Braten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oki, also deine Erklärung mit der Komposition denke ich habe ich verstanden.
Im obigen Fall wäre es ja quasi in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x}^{4} = x \end{eqnarray*}$

Bei der Umformung der Log-Gleichung hapert es noch.

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} ln(x)=2y*ln(10) \end{eqnarray*}$ nach y auflöse, muss ich ja erstmal durch 2 teilen.
Ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{2}=y*ln(10) \end{eqnarray*}$

Und dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{ln(x)}{2} }{ln(10)} = y \end{eqnarray*}$

Bin da echt noch unsicher.. wie du wahrscheinlich merkst.

14.10.2012, 16:47

Cheftheoretiker

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Braten ist immer gut. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{ln(x)}{2} }{ln(10)} = y \end{eqnarray*}$ hast du richtig umgeformt. Nun noch mit dem Kehrwert multiplizieren und die Prüfung mit $\begin{eqnarray*} f(g(x))=g(f(x))=x \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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14.10.2012, 17:05

JanHN

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Dann sind das $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{2*ln(10)}=y \end{eqnarray*}$

.. und dann die Prüfung:
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=10^{2*\frac{ln(x)}{2*ln(10)} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(f(x))=\frac{ln(10^2x)}{2*ln(10)} \end{eqnarray*}$

Und das ist gleich x? verwirrt

verwirrt

LOL Hammer

verwirrt

LOL Hammer

Ich weiß, du sagst mir gleich, dass da was nicht stimmt. smile

smile

14.10.2012, 18:04

Cheftheoretiker

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Jop, nun weiter vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=10^{2*\frac{ln(x)}{2*ln(10)} } \end{eqnarray*}$

Du solltest hier erstmal die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kürzen und dann folgendes ausnutzen, $\begin{eqnarray*} a^x=e^{ln(a)\cdot x} \end{eqnarray*}$ und weiter vereinfachen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2012, 18:18

JanHN

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Puh, ich glaube, dein letzter Tipp ist wirklich gut. Leider versteh ich ihn nicht unglücklich

unglücklich

14.10.2012, 18:20

Cheftheoretiker

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Na, die 2 im Exponenten kürzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=10^{2*\frac{ln(x)}{2*ln(10)} }=10^{\frac{ln(x)}{ln(10)}} \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} a^x=e^{ln(a)\cdot x} \end{eqnarray*}$ ausnutzen und weiter vereinfachen. smile

smile

14.10.2012, 18:28

JanHN

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Das mit der Zwei hab ich verstanden Prost

Prost

Hm, *aufm Schlauch steh* ich bei deinem Beispiel. In meinem Hirn schwirrt was rum, das e^ln x= x ist.. aber das hat hier wohl nichts damit zu tun, oder?
Mich verwirrt der Log-Bruch da oben.. die Aufgabe vergess ich nicht so schnell

14.10.2012, 18:36

Cheftheoretiker

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Mal ein kleines Beispiel, wenn du $\begin{eqnarray*} f(x)=5^{20x} \end{eqnarray*}$ hast kannst du es umschreiben zu $\begin{eqnarray*} e^{ln(5)\cdot 20x} \end{eqnarray*}$

Das selbe sollst du nun bei der Aufgabe machen. smile

smile

14.10.2012, 18:50

JanHN

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Ookay, Versuch Nr. 1:

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=e^{\frac{ln(10)*ln(x)}{ln(10)} } \end{eqnarray*}$

Oh man, halleluja. Ich kürze ln(10) und e^ln(x) wird = x.

Ich verneige mich ernsthaft Gott

Gott

und sage Danke!!! smile

smile

14.10.2012, 19:01

Cheftheoretiker

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Jap, gut gemacht. Freude

Freude

Jetzt noch hier, $\begin{eqnarray*} g(f(x))=\frac{ln(10^{2x})}{2*ln(10)} \end{eqnarray*}$

Wie geht's denn da weiter?

14.10.2012, 19:21

JanHN

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Oha, ganz vergessen.

Da forme ich den Zähler um zu

$\begin{eqnarray*} g(f(x))=\frac{2x*ln(10)}{2*ln(10)} \end{eqnarray*}$

kürze ln(10) und die 2 und erhalte wieder x.

Was mich noch wundert: Eigentlich sollte sich doch die Umkehrfunktion an der Winkelhalbierenden spiegeln. Aber die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ sehen so gar nicht danach aus im Plotter?!

14.10.2012, 19:37

Cheftheoretiker

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Jap, auch das stimmt. smile

smile

Die graphische Interpretation habe ich mir jetzt nicht angeschaut, eventuell kann jemand anders noch etwas dazu sagen?

14.10.2012, 19:45

Helferlein

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@JanHN: Was stört Dich an der Graphik?

14.10.2012, 19:53

JanHN

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Nix Helferlein, hab doch nie was gesagt Big Laugh

Big Laugh

Hammer

Hammer

Danke

smile

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