Irreduziblität

13.10.2012, 17:40

BigDaddyyyy

Irreduziblität

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Ist $\begin{eqnarray*} P(X)=X^3-X-2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{49} \end{eqnarray*}$ irreduzibel?

Meine Ideen:
Es reicht ja aus, zu wissen ob dieses Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{49} \end{eqnarray*}$ Nullstellen besitzt.
Allgemein würde ich auch gerne wissen wie ich den zugehörigen Zerfällungskörper berechnen kann.
Für Tipps wäre ich dankbar.

13.10.2012, 17:53

ttwryl

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Hallo,

Möglichkeit 1: Alle 49 Elemente durchprobieren.
Möglichkeit 2: Sich überlegen, dass bereits die Irred. über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7 \end{eqnarray*}$ ausreicht und die nachprüfen.
Zur Konstruktion:
Wie konstruiert man den $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{49} \end{eqnarray*}$ ?

14.10.2012, 12:08

BigDaddyyyy

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Hey ttwryl,
danke für deine Antwort.
Die Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray*}$ ist klar. Auch wie ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{49} \end{eqnarray*}$ konstruiere kann, weiß ich. Ich bilde einfach den Faktorring $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 [X] / p(X)\mathbb{F}_7 [X] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein irreduzibles Polynom zweiten Grades über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray*}$ ist. Aber was sagt mir das?
Liegen denn alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} X^3-X-2 \end{eqnarray*}$ in dem Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{7^3} \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, warum?
Ich denke ich brauch noch einen weiteren Stupser in die richtige Richtung.

Vielen Dank schon einmal
LG

14.10.2012, 13:14

Captain Kirk

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Zitat:

Auch wie ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{49} \end{eqnarray*}$ konstruiere kann, weiß ich. Ich bilde einfach den Faktorring $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 [X] / p(X)\mathbb{F}_7 [X] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein irreduzibles Polynom zweiten Grades über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray*}$ ist. Aber was sagt mir das?

Damit konstruierst du einen Zerf.körper jenes irred. Polynoms.
Genauso geht's hier auch.

Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb F_{49} \backslash \mathbb F_7 \end{eqnarray*}$ eine NSt von $\begin{eqnarray*} X^3-X-2 \end{eqnarray*}$ . Betrachte $\begin{eqnarray*} [\mathbb F_7 (a) :\mathbb F_7] \end{eqnarray*}$ um einen Widerspruch zu kriegen.

14.10.2012, 15:19

Mystic

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Meiner Meinung nach muss man hier einfach mit Square & Multiply checken, ob die modulare Potenz

$\begin{eqnarray*} X^{49} \mod (X^3-X-2,7) \end{eqnarray*}$

als Ergebnis X liefert...

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