Wachstumsfunktion

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Bobo-bär Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstumsfunktion
Meine Frage:

Hallo!


Ich bin gerade über ein kleine Matheaufgabe gestolpert.

Die Frage war
"ein Population wächst von 2009 bis 2012 pro Jahr im Schnitt 2%. Am Ende 2012 wird sie exakt 2.000.000 erreichen.
Wie groß war die Bevölkerung zu Beginn 2009 ?



Meine Ideen:
Da hab ich mich versucht an meine Schulzeit zurück zu erinnern und hätte es einfach mit Hilfe einer e-Funktion gelöst.

D.h. N(t) = N_0 * e^(0,02*t)

Somit is N_0 = 2.000.000/(e^(0.02*3))

= 1.883.529

Doch als ich die Lösung des kleinen Rätsels gesehen habe war ich etwas irritiert.

Die Aufgabensteller haben es nach der Zines-Zins Methode gelöst.

D.h. N(t) = N_0 * 1,02^t

Somit wäre N_0 = 1.884.644

meine Frage wäre jetzt welche Rechnung ist richtig?
Ich würde jetzt vermuten dass dei e-Funktion nur eine Näherung ist?!

Danke für jede Antwort smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wachstumskonstante k in deiner e-Funktion ist nicht automatisch gleich dem Prozentsatz p, mit dem eine Größe jährlich wächst.
Das ist hier nur Zufall, dass e^0,02 ungefähr auch dem Wachstumsfaktor 1,02 entspricht.
Mit wäre dann mit und somit dann
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982

Zitat:
Original von Bjoern1982
Das ist hier nur Zufall, dass e^0,02 ungefähr auch dem Wachstumsfaktor 1,02 entspricht.


M.E. ist es nicht so zufällig.

Mit freundlichen Grüßen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum lässt du das unbegründet einfach mal so im Raum stehen ?
Damit hat dein Beitrag nicht sonderlich viel Mehrwert. Augenzwinkern
Oder wartest du auf ein "Bitte bitte Kasen75, sag uns warum das so ist" ? Gott

Zufall ist hier in der Tat das falsche Wort, denn wenn sich zwei Wachstumsvorgänge in bestimmten Bereichen ähnlich verlaufen, dann ist das natürlich schon absehbar (wenn auch gefährlich für eine Verallgemeinerung).
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982,
ich dachte du würdest dies klären.

Es handelt sich ja um ein und denselben Wachstumsvorgang. Nur eben einmal diskret und ein anderes Mal kontinuierllich betrachtet.

diskretes Modell:

Das führt zu:

Jetzt kann man t in unendlich kleine Zeitintervalle unterteilen. dt geht hierbei gegen Null. dt ist der Abstand zwischen den Zeitpunkten.



Das ist dann gleich

kontinuierliches Modell:
dt geht hierbei gegen Null.

Löst man diese Gleichung nach N bzw. auf, dann führt dies zu:



Fazit: Je größer m, desto mehr nähert sich das diskrete Modell dem kontinuierlichen Modell an.

Mit freundllichen Grüßen.
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