Bild von Funktionen / Teilmengenbeziehung

14.10.2012, 15:18

Jota

Bild von Funktionen / Teilmengenbeziehung

Meine Frage:
Aufgabe:
Sei eine Funktion f gegeben mit $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \subseteq A \\ \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen $\begin{eqnarray*} f(A_1) \backslash f(A_2) \subseteq f(A_1 \backslash A_2) \end{eqnarray*}$

Zeige ferner die Gleichheit, falls f injektiv ist.

Meine Ideen:
Ich habe einen Beweis mir überlegt und wollte fragen, ob ich man das so gelten lassen kann:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A_1, y \in A_2, z \in A_1 , A_2 \end{eqnarray*}$ und f nicht injektiv.
Dann folgt:
1.a) $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A_1 \backslash A_2) \end{eqnarray*}$ da x in A1 ist aber nicht in A2
b) $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A_1) \backslash f(A_2) \Rightarrow f(x) \neq f(y) \end{eqnarray*}$ -- Hier ist also eine Bedingung wodurch schon potenziell weniger Elemente in der Bildmenge sind, bei Punkt a) waren hingegen alle f(x) in der Menge enthalten
2. f(y) ist weder im in der einen noch in der anderen Bildmenge enthalten, ebenso f(z) (das müsste man dann vielleicht mit einer Wahrheitstafel oder ähnlichem vielleicht ausführlich begründen)

Wegen 1. a)/b) ergibt sich dann die Teilmengenbeziehung. Ferner ergibt sich die Gleichheit der beiden Mengen, wenn die Funktion injektiv ist, denn die Bedingung bei 1 b) ist nach Definition der Injektivität für alle x erfüllt.

--- Nun, ich bin mir etwas unsicher und glaube, dass es vielleicht etwas zu schwammig formuliert ist (? )

14.10.2012, 16:14

Gast11022013

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Durch Deinen Beweis steige ich nicht durch, vielleicht jemand anders hier.

Der Beweis erscheint mir jedenfalls nicht richtig. Stattdessen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f(A_1)\setminus f(A_2) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} x\in f(A_1)=\left\{f(y)|y\in A_1\right\}\wedge x\notin f(A_2)=\left\{f(y)|y\in A_2\right\} \end{eqnarray*}$ .

Was kann man dann folgern? Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} y\in A_1 \end{eqnarray*}$ mit ...

14.10.2012, 16:37

Jota

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Danke für die Hilfe. Hm, ok dann versuchen wir es nach Deiner Methode:

Dann .... $\begin{eqnarray*} \exists y \in A_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nexists y' \in A_2 : f(y') = x \end{eqnarray*}$
Außerdem darf y auch nicht A2 sein.

14.10.2012, 16:48

Gast11022013

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Zitat:

Original von Jota

Dann .... $\begin{eqnarray*} \exists y \in A_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nexists y' \in A_2 : f(y') = x \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Dann ist $\begin{eqnarray*} y\notin A_2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y\in A_1\setminus A_2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in f(A_1\setminus A_2) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nimm an, daß f injektiv ist und zeige, daß dann auch $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ gilt.

14.10.2012, 17:21

Jota

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Angenommen f injektiv:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in f(A_1 \backslash A_2) \end{eqnarray*}$ Dann $\begin{eqnarray*} \exists y \in A_1 : y \notin A_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$
Wegen der Injektivität gilt $\begin{eqnarray*} \nexists y' \in A_2 : f(y') = x \end{eqnarray*}$ , sodass folgt $\begin{eqnarray*} x \in f(A_1) \backslash f(A_2) \end{eqnarray*}$
verwirrt

14.10.2012, 21:28

Gast11022013

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Ja, richtig. Man könnte das noch ein bisschen ausführen, aber prinzipiell ist das richtig.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f(A_1\setminus A_2) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~\exists~y\in A: y\in A_1\wedge y\notin A_2: x=f(y) \end{eqnarray*}$

Da f injektiv ist, ist dieses $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Es ist das einzige $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\notin A_2 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist wegen $\begin{eqnarray*} y\notin A_2 \end{eqnarray*}$ (und weil $\begin{eqnarray*} f(\tilde{y})\neq x~\forall~\tilde{y}\in A\setminus\left\{y\right\} \end{eqnarray*}$ gilt) dann $\begin{eqnarray*} x\notin f(A_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\in f(A_1)\setminus f(A_2) \end{eqnarray*}$ .

Wink

14.10.2012, 21:49

Jota

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Ok, danke

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