Unendlichkeit der Primzahlen- Beweis von Erdös

15.10.2012, 15:31

bouni

Unendlichkeit der Primzahlen- Beweis von Erdös

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe eine Frage zum Beweis von Paul Erdös zur Unendlichkeit der Primzahlen. http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-erdoes2.html
( ich kann es leider nicht mit dem Formeleditor ausdrücken, ich habs aber im Anhang hochgeladen^^) Vorweg gilt, dass
Nb die Anzahl aller ganzen positiven Zahlen ist, die durch mindestens eine Primzahl der Form p(k+1), p(k+2)... teilbar ist. Ns wäre die Anzahl aller Zahlen, die durch Primzahlen kleiner als p(k+1) teilbar sind. Aber das nur nebenbei. Es steht hier nun, dass Nb kleiner oder gleich der Summe aller N/pi ist mit i größer/gleich k+1). N/pi (mit Gaußklammer) ist also die Anzahl aller positiven ganzen Zahlen, die durch pi teilbar sind. Also für i=k+1 gilt:

(Anzahl aller pos. ganzen Zahlen teilbar durch p(k+1)) +(Anzahl aller pos. ganzen Zahlen teilbar durch p(k+2)) etc.

Meine Ideen:
Mit i=k+1 wäre ja dann Nb und die Summe von N/pi gleich groß oder nicht? Wenn ich nun aber i=k+2 wähle, dann fehlt ja quasi von der Summe die Anzahl aller pos. ganzen Zahlen, die durch p(k+1) teilbar sind. Wäre dann für i=k+2 die Summe von N/pi nicht kleiner als Nb?

Es wäre wirklich lieb, wenn jemand sich die Mühe macht und antworten könnte.. ich weiß es sehr zu schätzen, vielen Dank smile

15.10.2012, 16:36

tmo

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$\begin{eqnarray*} \lfloor \frac{N}{p_i} \rfloor \end{eqnarray*}$ ist die Anzahl aller Vielfachen von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ , die kleinergleich N sind.

Jede Zahl, die zu $\begin{eqnarray*} N_b \end{eqnarray*}$ beiträgt, ist aber ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ für mind. ein $\begin{eqnarray*} i \geq k+1 \end{eqnarray*}$ . Dies zeigt diese Abschätzung.

Wenn man es noch etwas genauer erklären will, geht es vlt. so:

Ist $\begin{eqnarray*} N_{b,i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \geq k+1 \end{eqnarray*}$ die Menge aller Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq N \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ teilbar sind, so ist per Definition $\begin{eqnarray*} N_b = \left| \bigcup_{i \geq k+1} N_{b,i} \right| \leq \sum_{i \geq k+1} |N_{b,i}| = \sum_{i \geq k+1} \lfloor \frac{N}{p_i} \rfloor \end{eqnarray*}$ .

15.10.2012, 16:39

Mystic

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RE: Unendlichkeit der Primzahlen- Beweis von Erdös

Zitat:

Original von bouni
Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe eine Frage zum Beweis von Paul Erdös zur Unendlichkeit der Primzahlen. http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-erdoes2.html

Au weia, da hast aber rein gar nichts davon verstanden... unglücklich

Das ist natürlich nicht ein Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ , sondern dies wird im Gegenteil vorausgesetzt und damit bewiesen, das die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{p \in \mathbb P} \frac 1p \end{eqnarray*}$ divergiert... Und ja die Vielfachen einer Primzahl p im Intervall [1,N] sind natürlich gegben durch

$\begin{eqnarray*} p,2p,3p,\ldots, \left \lfloor \frac Np \right \rfloor p \end{eqnarray*}$

Ich überlasse es nun dir, die genaue Anzahl dieser Zahlen zu ermitteln...

Edit: Zu spät, aber das macht mir in dem Fall gar nichts aus, da ich eh was anderes zu tun hab... Wink

15.10.2012, 16:42

tmo

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@Mystic:
Es wird (so wie ich das sehe) nirgends vorrausgesetzt, dass die dort auftauchende Reihe unendlich viele Summanden hat. Durch ihre Divergenz ergibt sich dann aber, dass sie unendlich viele Sumannden hat.

15.10.2012, 16:47

Mystic

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@tmo

Aber der erste Satz im erwähnten Artikel, nämlich

Zitat:

Im folgenden Beweis wird mittels Widerspruch die Divergenz der Reihe der Reziproken der Primzahlen gezeigt. Der erste Beweis dieser Aussage wurde von Leonhard Euler gegeben, der Beweis von Paul Erdös ist genau so schön und klar.

deutet eigentlich auf meine Interpretation hin... Als Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen, wäre er in meinen Augen einfach nur scheußlich... geschockt

15.10.2012, 19:20

bouni

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erstmal danke für die Antworten smile

@mystic, hmm, ja eigentlich hab ich ja nicht gemeint, dass das allein schon die Unendlichkeit der Primzahlen beweist, sondern nur ein Teil des Widerspruchbeweises ist.

@tmo: Danke ehrlich, aber.. ähm könntest du mir bitte nochmal erklären, was der Unterschied von Nb und N/pi ist? Ich krieg nicht hin, das irgendwie zu verstehen. Wenn ich das versteh, versteh ich vielleicht dann auch den unteren Teil deiner erklärung Big Laugh

Nb ist doch die Anzahl aller pos. ganzen Zahlen kleiner N, die durch eine Primzahl pi mit i=k+1, und N/pi für i=k+1 ebenfalls? verwirrt

15.10.2012, 20:13

bouni

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ähm.. gilt hier vielleicht folgendes?
Die Vereinigungsmenge ist kleiner als die Summe der Elemente der Mengen A und B, da einige Zahlen ja beiden Mengen angehören.
Kann man das auf das Beispiel anwenden?

Das, was ich halt immer noch nicht verstehe, ist, warum Nb die Vereinigungsmenge sein soll.. ahh, es macht einfach noch nicht klick unglücklich

15.10.2012, 22:33

tmo

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$\begin{eqnarray*} N_b \end{eqnarray*}$ zählt alle Zahlen, die irgendein $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ teilen.

$\begin{eqnarray*} N_{b,i} \end{eqnarray*}$ ist nach meiner Definition die Menge aller Zahlen, die dieses bestimmte $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ teilen.

Ist es dann nicht klar, dass die Vereinigung der $\begin{eqnarray*} N_{b,i} \end{eqnarray*}$ gerade die Zahlen enthält, die $\begin{eqnarray*} N_b \end{eqnarray*}$ zählt?

Das ist genauso, wie wenn man folgendes tun würde:

Wir wollen irgendwie alle geraden Zahlen bis 100 zählen.
Da wir das aber nicht schaffen (angenommen dem wäre so), zählen wir erst alle Zahlen die durch 4 teilbar sind und dann alle Zahlen die gerade sind, aber nicht durch 4 teilbar sind.

Diese addieren wir und erhalten alle geraden Zahlen.

Nur dass hier der Unterschied ist, dass wir manche Zahlen doppelt zählen.

Z.b. wäre die Zahl $\begin{eqnarray*} p_{k+1}p_{k+2} \end{eqnarray*}$ (sofern sie nicht größer als N ist) sowohl in $\begin{eqnarray*} N_{b,k+1} \end{eqnarray*}$ als auch in $\begin{eqnarray*} N_{b,k+2} \end{eqnarray*}$ .
Daher zählen wir sie in der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i \geq k+1} \lfloor \frac{N}{p_i} \rfloor \end{eqnarray*}$ doppelt, weshalb die Summe im Allgemeinen größer ist als $\begin{eqnarray*} N_b \end{eqnarray*}$

21.10.2012, 01:08

bouni

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vielen, vielen Dank für deine ausführliche und anschauliche Erklärung!!!! Ich konnte es mir vorher echt nicht vorstellen, aber mit deinen Beispielen hast du mir wirklich weitergeholfen. DANKE! smile

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