Ungleichung bestimmen |x-a|<b für Lösungsmenge

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15.10.2012, 15:32	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung bestimmen \|x-a\|<b für Lösungsmenge Hallo liebe Community, ich hab Probleme mit folgender Aufgabe. Für die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x-a\|< b \end{eqnarray}$ ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} ]-1,11[ \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz : Da es eine Betragsungleichung ist, muss man eine Fallunterscheidung machen. Fall a : $\begin{eqnarray} x-a < 0 => x<a \end{eqnarray}$ Fall b : $\begin{eqnarray} x-a > 0 => x>a \end{eqnarray}$ Fall a: $\begin{eqnarray} -(x-a)<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x+a<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x<b-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>b+a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11>b+a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11-a>b \end{eqnarray}$ Fall b: $\begin{eqnarray} x-a<b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x< b-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1<b-a \end{eqnarray}$ Ineienander eingesetzt. $\begin{eqnarray} -1< (11-a)-a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1<11-2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10<-2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5>A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> b<6 \end{eqnarray}$ Ist die Methode soweit richtig? Oder hab ich da was grundlegendes falsch gemacht? Mich verwirren zum Schluss nur die < / > Zeichen, müsste das nciht ein Gleichheitszeichen sein? Danke !
15.10.2012, 15:43	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Du gehst da einen seltsamen Weg. Spätestens in der Zeile, in der Du einfach x durch 11 ersetzt wird es komisch . Probier es vielleicht mal genau andersrum: Wie sieht denn die Lösungsmenge für beliebiges a und b>0 aus? Das vergleichst Du dann mit dem gegebenen Intervall und schon hast Du a und b .
16.10.2012, 11:25	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, da vestehe ich dich jetzt nicht. Könntest du das nochmal etwas genaueer erklären?
16.10.2012, 11:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie speedyschmidt schon sagt: Berechne die Lösungsmenge allgemein für $\begin{eqnarray} a,b>0 \end{eqnarray}$ . Damit kannst Du dann sehen, wie a und b in Deinem konkreten Beispiel gewählt sein müssen.
16.10.2012, 13:18	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
@Denis2010: Sorry stehe gerade total auf dem Schlauch. Ich weiß zwar wie ihr das glaube ich meint, aber keine ahnung wie ich den Ansatz dafür aufstelle Vllt. noch einen Tipp?
16.10.2012, 13:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst ganz einfach eine Fallunterscheidung. Fall 1: $\begin{eqnarray} x-a\geq 0 \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} x-a<0 \end{eqnarray}$ Dann bekommst Du zwei Gleichungssysteme, die jeweils aus zwei Gleichungen bestehen. Die formst Du ein bisschen um und hast dann zwei Lösungsmengen. Deren Vereinigung ist die Gesamtlösungsmenge.
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16.10.2012, 13:23	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Fallunterscheidung hab ich doch auch gemacht?
16.10.2012, 13:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Du hast da dann so seltsam die 11 eingesetzt. Okay, also ich sage mal konkret, wie es gemeint ist, bevor sich jetzt unnötige Missverständnisse ergeben. $\begin{eqnarray} \lvert x-a\rvert<b \end{eqnarray}$ I. $\begin{eqnarray} x-a\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-a<b \end{eqnarray}$ Umgeformt: $\begin{eqnarray} x\geq a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<a+b \end{eqnarray}$ Die Lösungsmenge lautet hier? II. $\begin{eqnarray} x-a<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x-a)<b \end{eqnarray}$ Umgeformt: $\begin{eqnarray} x<a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>a-b \end{eqnarray}$ Die Lösungsmenge lautet hier? Was ist die Vereinigung der beiden Lösungsmengen? Wie müssen in Deinem Beispiel also a und b lauten?
16.10.2012, 20:00	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmengen: $\begin{eqnarray} L_1 = a < x < a+b<br /> <br /> L_2 = a>x>a-b<br /> \end{eqnarray}$ Aber die vereinigte Lösungsmenge , bekomm ich nicht hin...
16.10.2012, 20:18	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ stimmt nicht ganz, korrekt ist $\begin{eqnarray} L_1=\left\{x:a\leq x<a+b\right\} \end{eqnarray}$ . Achte darauf, dass Du die Lösungsmengen auch korrekt als Mengen schreibst. So, wie Du das aufgeschrieben hast, ist das streng genommen nicht korrekt. Jetzt vereinigst Du einfach $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ , dafür schaust Du Dir einfach die kleinste untere Grenze und die größte obere Grenze an. Dann kommst Du auf $\begin{eqnarray} \mathbb{L}=\left\{x:a-b<x<a+b\right\} \end{eqnarray}$ . Wenn Du jetzt die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} L=\left\{x: -1<x<11\right\} \end{eqnarray}$ vorgegeben hast, was sind dann a und b? Jetzt klar?
16.10.2012, 23:23	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke , das ist mir jetzt soweit klar geworden. Daraus kann ich dann 2 Ungleichungen machen und dann gegenseitig einsetzen oder?
17.10.2012, 06:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst Du da denn jetzt noch groß machen? Ich dachte, es sei nun klar, dass $\begin{eqnarray} a=5, b=6 \end{eqnarray}$ gelten muss.
17.10.2012, 09:25	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht man ja ...! Aber kann ich nun einfach sagen, das es so ist?
17.10.2012, 12:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Du hast ja gezeigt, wie die Lösungsmenge allgemein aussieht.
17.10.2012, 12:16	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry wenn ich mich einmische, aber wozu diese Fallunterscheidung? Man könnte auch direkt folgern: $\begin{eqnarray} \|x-a\|< b\Rightarrow -b<x-a<b\Rightarrow a-b<x<a+b \end{eqnarray}$ Dementsprechend ist auch $\begin{eqnarray} a-b=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a+b=11 \end{eqnarray}$ , was in der Tat zu der Lösung führt.

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