Definition von Komposition von Abbildungen

16.10.2012, 12:50

DonJuan

Definition von Komposition von Abbildungen

Meine Frage:
Wir haben im Algebra-Kurs die Komposition zweier Abbildungen wie folgt definiert:
Seien L,M und N Mengen und seien f: L ? M und g: M?N Abbildungen. Dann wird g°f definiert durch (g°f)(l) = g(f(l)) für alle l Element L.

Die Zielmenge von f muss also gleich dem Definitionsbereich von g sein.

In der Analysis lässt man für die Komposition von Funktionen allerdings zu dass Zielmenge von f und Definitionsmenge von g unterschiedlich sein können. Man sagt nur, dass Zielmenge von f eine Teilmenge des Definitionsbereiches von g sein muss.

Warum macht man diese Unterscheidung?

Meine Ideen:
ich vermute, dass man sich sonst in irgendwelche Widersprüche verstricken würde, aber in welche?

16.10.2012, 13:05

Math1986

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RE: Definition von Komposition von Abbildungen

Zitat:

Original von DonJuan
In der Analysis lässt man für die Komposition von Funktionen allerdings zu dass Zielmenge von f und Definitionsmenge von g unterschiedlich sein können. Man sagt nur, dass Zielmenge von f eine Teilmenge des Definitionsbereiches von g sein muss.

Warum macht man diese Unterscheidung?

Meine Ideen:
ich vermute, dass man sich sonst in irgendwelche Widersprüche verstricken würde, aber in welche?

Der Widerspruch wäre folgender:

$\begin{eqnarray*} \left(g\circ f\right)\left(l\right) = g\left(f\left(l\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} g\colon M\to N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung ist, so muss der unterstrichene Term $\begin{eqnarray*} g\left(\underbrace{f\left(l\right)}_{\in M}\right) \end{eqnarray*}$ in M liegen, da die Abbildung sonst nicht wohldefiniert wäre.

16.10.2012, 13:53

DonJuan

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RE: Definition von Komposition von Abbildungen
Leider ist mir der Unterschied noch nicht klar,

Vielleicht macht es ein Beispiel deutlicher:

Seien f und g Abbildungen mit

f: N nach Menge der geraden Zahlen, f(x) = 2x
g:N nach Z , f(u) = -u

Laut Definition ist die Komposition g°f nicht definiert, da Def von g ungleich Zielmenge von f.

f(x) liegt aber sehr wohl in N, also ist das doch kein Widerspruch zu deiner Forderung.
oder habe ich dich falsch verstanden?

Mein Problem ist einfach, dass ich obige Komposition als Funktionen in R sehrwohl so bilden kann, dass aber die Algebra fordert, dass Zielmenge von f und Def von g übereinstimmen. Es wäre also nur
f: N nach N, f(x) = 2x
g:N nach Z , f(u) = -u
erlaubt.
Warum macht man in der Algebra diese Einschränkung?

16.10.2012, 14:58

Math1986

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RE: Definition von Komposition von Abbildungen

Zitat:

Original von DonJuan
Seien f und g Abbildungen mit

f: N nach Menge der geraden Zahlen, f(x) = 2x
g:N nach Z , f(u) = -u

Laut Definition ist die Komposition g°f nicht definiert, da Def von g ungleich Zielmenge von f.

f(x) liegt aber sehr wohl in N, also ist das doch kein Widerspruch zu deiner Forderung.
oder habe ich dich falsch verstanden?

Meine Forderung? verwirrt

Du hast diese Definitionen aufgestellt, nicht ich.
Nach der "Algebra-Definition" wäre dies in der tat unzulässig, nach der "Analysis-Definition" schon.

Warum man das in beiden Kursen anders definiert weiß ich doch nicht, vermutlich betrachtet man in der Algebra nur diesen Spezialfall.

16.10.2012, 15:09

DonJuan

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RE: Definition von Komposition von Abbildungen
mit Forderung meinte ich

so muss der unterstrichene Term $\begin{eqnarray*} g\left(\underbrace{f\left(l\right)}_{\in M}\right) \end{eqnarray*}$ in M liegen.

Dass man die Definitionen einfach willkürlich unterschiedlich macht, kann ich mir nicht vorstellen.

Ich bin sicher, das hat einen driftigen Grund. Wenn du ihn nicht kennst, kann das ja vielleicht jemand anderes hier beantworten?

16.10.2012, 15:57

Math1986

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RE: Definition von Komposition von Abbildungen

Zitat:

Original von DonJuan
mit Forderung meinte ich

so muss der unterstrichene Term $\begin{eqnarray*} g\left(\underbrace{f\left(l\right)}_{\in M}\right) \end{eqnarray*}$ in M liegen.

Ja, anderenfalls wäre der Ausdruck ja gar nicht definiert (es ist nach wie vor nicht meine Forderung)

Zitat:

Original von DonJuan
Dass man die Definitionen einfach willkürlich unterschiedlich macht, kann ich mir nicht vorstellen.

Ich bin sicher, das hat einen driftigen Grund. Wenn du ihn nicht kennst, kann das ja vielleicht jemand anderes hier beantworten?

Na, wenn du meinst.. smile

In der Mathematik ist es nunmal so, das gewisse Sachen unterschiedlich definiert sind (man denke an die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit/ohne Null, an $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ mit/ohne Gleichheit). Dass das verwirrend ist sehe ich ja ein, aber nach einem "tieferen Sinn" dahinter zu suchen halte ich ehrlich gesagt für müßig - es gibt meist keinen.

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