Stochastische Konvergenz gegen 0 vom Maximum

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moonylo Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Konvergenz gegen 0 vom Maximum
Meine Frage:
Hallo smile

In einem längeren Beweis stecke ich im Moment etwas fest. Zuerst einmal die Voraussetzungen:

Gegeben ist ein 2-dimensionaler Zufallsvektor .
X und Y sind reell und 4-fach integrierbar.
Nun haben wir für alle Beobachtungen von Z. Diese definiere ich als für .

Ich komme in meinem Beweis an folgende Stelle: Sei und die euklidische Norm und eine reelle Funktion.



Zeigen möchte ich, dass diese Summe für gegen 0 konvergiert. Lasse ich die Indikatorfunktion komplett weg, dann konvergiert das ganze fast sicher gegen ein .

Meine Ideen:
Meine Ansatz sieht so aus:

Ich ersetze jede Indikatorfunktion durch das Maximum über alle i und kann die Indikatorfunktion dann aus der Summe ziehen. Da die Summe fast sicher konvergiert müsste ich nur noch zeigen, dass



stochastisch gegen 0 konvergiert. Ich muss also zeigen

für alle


Noch wichtig zu wissen: f ist auch einfach nur eine Summe die jeweils den Faktor dort stehen hat, sprich ich muss zeigen



Da ich eventuell etwas vergessen habe und das mit dem f so unklar aussieht, hier nochmal ein einfacheres Beispiel:



Die Frage ist erstmal: Gilt das überhaupt ganz allgemein für jedes X mit den Voraussetzungen von oben?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moonylo


Zeigen möchte ich, dass diese Summe für gegen 0 konvergiert.

Ich kann beim besten Willen nicht erkennen, wieso sie das tun sollte. verwirrt

Zitat:
Original von moonylo
Lasse ich die Indikatorfunktion komplett weg, dann konvergiert das ganze fast sicher gegen ein .

Da die Reihenglieder der Originalreihe wegen deren Konvergenz eine Nullfolge bilden, schneidet die Indikatorfunktion irgendwann mal alle restlichen Reihenglieder weg. Deswegen wird die verbleibende Restsumme aber noch lange nicht Null, sondern "verharrt" bei irgendeinem Partialsummenwert.


EDIT: An dem, was du unter "Meine Ideen" äußerst, kann man erkennen, dass der Sachverhalt wohl doch ein wenig anders ist. Ich hab aber jetzt keine Lust, dass aus diesem Gewusel herauszuklamüsern - ändere du lieber die Problemstellung in dem Sinn, in dem du sie wirklich meinst.
moonylo Auf diesen Beitrag antworten »

Schonmal vielen Dank fürs Annehmen und Durchlesen und sorry für den vielen Hickhack.

Also im Prinzip möchte ich die Lindeberg Bedingung zeigen um damit in einem unabhängigem Dreiecksschemata den zentralen Grenzwertsatz anwenden zu können. Ich vereinfache das Problem mal (von mehreren dimensionen auf eine):


Sei X eine stetige, reelle Zufallsvariable mit und . Weiter sei .

Nun seien für alle unabhängige Beobachtungen.

[...]

Ich möchte die Lindeberg Bedingung zeigen, konkret ergibt sich nach Umformung:



Problemstellung: Für soll das gegen 0 konvergieren.

Bekannt ist, dass



Und mein Lösungsansatz hat nun darauf beruht die Indikatorfunktion nach oben abzuschätzen und rauszuziehen aus den Summanden durch



und von dieser wollte ich nun zeigen, dass sie stochastisch gegen 0 konvergiert, also für alle gilt



Diese Wahrscheinlichkeit ist aber nicht anderes als diese Wahrscheinlichkeit

.

Da bin ich mir aber nun nicht mehr so sicher ob das mit dem Maximum überhaupt funktioniert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Summe

Zitat:
Original von moonylo

hat doch nicht die Struktur

Zitat:
Original von moonylo

da hast du dich aber desaströs verhauen, insbesondere was die Rolle von betrifft. unglücklich
moonylo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Summe

Zitat:
Original von moonylo

hat doch nicht die Struktur

Zitat:
Original von moonylo

da hast du dich aber desaströs verhauen, insbesondere was die Rolle von betrifft. unglücklich


Zum 1.:

Das erkennt man nicht wieder - aber das sieht wirklich so aus nach dem Umformen.

Zum 2.:

Da hast du absolut recht. Sorry dafür!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind keine zwei Aussagen, sondern eine - wie kannst du da 1. verneinen und 2. zustimmen (was auch immer 1. und 2. sein sollen) ? verwirrt
 
 
moonylo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das sind keine zwei Aussagen, sondern eine - wie kannst du da 1. verneinen und 2. zustimmen (was auch immer 1. und 2. sein sollen) ? verwirrt


Nun seh ich auch was du meinst - ja, das hab ich verhaun.

Als 1. meinte ich einfach nur den oberen quote + satz dadrunter - weil die summe nunmal garnicht mehr so aussieht als wenn das die lindeberg bedingung wäre.

Als 2. hab ich genau dem zugestimmt was du mit dem ganzen post sagen wolltest - das hab ich verhaun, ja!
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