Frage zum Supremum

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klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Supremum
Meine Frage:
Hallo Leute,

bin mir bei einer Aufgabe nicht sicher...

Es sei
Zeigen Sie:

a) inf(A)=-sup(-A)

b) ist A nach oben beschränkt so gilt




c) Falls A nach unten beschränkt ist, gilt



Meine Ideen:
Zu a)



das heisst dass das negative des Supremums kleiner oder gleich sein muss als alle negativen a, also:



zu b)

Hier fällt mir eigentlich nur ein dass die Menge ja beliebig nahe ans Supremum rankommt und jeder beliebige Wert der vom Supremum subtrahiert wird dazu führt dass das Ergebnis kleiner ist als das größtmögliche a. Also gibt es kein das kleiner ist als das kleinste a.



wenn das bis jetzt stimmt würde ich c) analog bewisen...

Danke für die Hilfe!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das heisst dass das negative des Supremums kleiner oder gleich sein muss als alle negativen a, also:


So zeigst Du nur, dass eine untere Schranke von -A ist, wir wissen noch nicht, dass es sich tatsächlich ums Infimum handelt. Für das Supremum gilt :

Sei a eine obere Schranke dann ist a das Supremum genau dann wenn für alle oberen Schranken b gilt.

Infimum:

Sei a eine untere Schranke, dann ist a das Infimum genau dann wenn für alle unteren Schranken b gilt.

Das formuliere mal Mathematisch und überlege Dir wie Du vom Supremum zum Infimum kommst wenn Du -A betrachtest.

b) und c) beweisen sich recht gut über einen Widerspruchsbeweis. Nimm mal an es gäbe eine Epsilon so dass für alle

gilt, was ist dann ?
 
 
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei b würde das dann fürs heißen dass es kleiner als Null ist oder? Da hätte ich ja dann den Wiederspruch...

für die Aufgabe a brauch ich noch etwas
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei b würde das dann fürs heißen dass es kleiner als Null ist oder? Da hätte ich ja dann den Wiederspruch...


Wieso sollte kleines als 0 sein? Wir wissen doch gar nicht wie groß Epsilon ist. Nein, der Widerspruch kommt anders zu stande. Schau nochmal genau was ich da hingeschrieben habe.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

mmh also . Aber sup(A) ist ja definiert mit deshalb kann nicht größer als a sein.

so besser?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer : kann nicht größer als jedes a aus A sein. Denn dann wäre eine obere Schranke. Dann kann sup(A) aber nicht Supremum sein. Daher führt die Annahme dass es so ein Epsilon gibt zu einem Widerspruch, daher muss die eigentliche Aussage gelten Augenzwinkern
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke smile

Nun zum Teil a), da hab ich mir überlegt es mal so hinzuschreiben:

mit a und b als obere Schranken,

ist das bis jetzt richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, der aufschrieb ist irgendwie nicht richtig. Besser : Sei A nach oben beschränkt .

klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das habe ich verstanden, und jetzt muss ich einfach analog das Infimum definieren oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Joah, das kannst Du. Und dann überleg mal was bei -A passiert Augenzwinkern
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »


daraus folgt...


kann das so stimmen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Bedingung fürs Infimum ist in Ordnung, sofern A nach unten beschränkt ist.

Als erstes ist also zu zeigen dass -A nach unten beschränkt ist, was aber trivial ist.

Jetzt formulieren wir mal was wir haben. Wir wissen dass für das Supremum a gilt :



Wir hätten gerne dass daraus




Denn dann wäre . Da fehlt dir nicht mehr viel, aber ein wenig muss man noch tun Augenzwinkern

edit : Ups , wir wollen ja



zeigen, da müssen wir die Argumente aber nur etwas umdrehen. Wir haben also



und wollen gerne nach

klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schritt von der ersten zur zweiten Aussage ist ja ganz logisch, nur hab ich keine Idee wie ich das mathematisch formulieren soll, ich brauche glaub ich noch nen schubs in die richtige Richtung.. verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn für alle also gilt, dann gilt wohl für alle . Sprich, -b ist eine obere Schranke von -A. Jetzt wissen wir aber dass ist, was ist also für -a ?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste sein... weil -a ja die größte untere Schranke von -A ist also auch das Infimum oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn , dann ist . Da dass für alle unteren Schranken b gilt , also für alle oberen Schranken -b ist also -a was?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

-a < -b weil -a die kleinste obere Schranke ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-a < -b weil -a die kleinste obere Schranke ist?


Was meinst Du ?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh wenn a<b für den Fall stimmt dass a die kleinste obere Schranke ist, dann müsste ja -a>-b sein wenn a die größte untere Schranke ist.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mmmh wenn a<b für den Fall stimmt dass a die kleinste obere Schranke ist, dann müsste ja -a>-b sein wenn a die größte untere Schranke ist.


Du sagst einmal a sei untere Schranke und im gleichen Satz a sei obere Schranke. Das ergibt keinen Sinn. Schau nochmal genau von wo nach wo wir gehen. Wir haben gesagt



also



und wir wissen mitlerweile



also was ist -a ?
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

-a ist das Supremum von -A
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-a ist das Supremum von -A


Damit ist Aufgabe a) erledigt (wenn man das alles ordentlich aufschreibt).
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke für deine Hilfe und Gedult!!! Gott
ohlner2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich saß gerade an der gleichen Aufgabe und frage mich, ob auch diese Überlegung mathematisch korrekt zum Ziel führt:

Die Definition des Infimum s der Menge M ist
Die analoge Definition des Supremums

Betrachten wir jetzt sup(-M), so ändern sich die Vorzeichen aller von M "abhängigen" Werte und man erhält:

Das Ganze mit -1 multipliziert:

., was äquivalent zur Definition des Infimum wäre.

Ist dieser Weg auch in Ordnung oder habe ich es mir da zu "einfach" vorgestellt? Habe zugegebenermaßen eine seltsame Art und Weise an solche Aufgaben heranzugehen...
ohlner2 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, mir fällt auf, die letzte Zeile muss natürlich + Epsilon heißen am Ende.

Tut mir leid für den Doppelpost, aber die Edit-Funktion funktioniert ja bekanntlich nur innerhalb der ersten 15 Minuten nach Verfassen des Posts...
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