Newton-Gauß-Verfahren

18.10.2012, 16:50	freshprince689	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Gauß-Verfahren Meine Frage: Hallöchen... ich befinde mich aktuell in der Endphase meiner Diplomarbeit, welche ich gern nächste Woche Sonntag abschließen möchte, daher wäre ich über eine schnelle Hilfe sehr dankbar: Ich habe folgendes Problem: Gegeben sei die Stichprobe bzw. die daraus resultierenden Matrizen $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} 20 & 100 \\ 30 & 200 \\ 40 & 300 \\ 50 & 400 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll im Rahmen einer Regression eine Funktion erstellt werden, welche y in Abhängikeit der beiden Variablen erklärt. Ich bin mir sicher, dass diesem Sachverhalt folgende Funktion zugrunde liegt: $\begin{eqnarray} y_{n} = x_{1n} b * (a + c * x_{2n}) \end{eqnarray}$ Da diese meines Erachtens nach nicht linearisiert werden kann, muss auf die klassische Methode der kleinsten Quadrate verzichtet werden. Alternativ möchte ich nun das Gauß-Newton-Verfahren zur Ermittlung der Koeffizienten a,b und c nutzen. Meine Ideen:* Laut Wikipedia muss zunächst die Jacobi-Matrix erstellt werden, wobei in jeder Spalte, die aus der Prognosefunktion $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ resultierenden Zielfunktion $\begin{eqnarray} r = f(x) - y \end{eqnarray}$ nach einem Koeffizienten partiell abgeleitet wird. Anschließend werden die Daten der jeweiligen Beobachtung (also x1, x2 und y) eingesetzt und die Spalte somit ausgefüllt. Für meinen Sachverhalt würde sich dann folgende Matrix ergeben: $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} 20b & 20a 2000c & 2000b \\ 30b & 30a * 6000c & 6000b \\ 40b & 40a * 12000c & 12000b \\ 50b & 50a * 20000c & 20000b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ebenfalls relevant ist der Zielfunktionsvektor $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , welcher bei mir folgender Gestalt sein sollte: $\begin{eqnarray} r = \begin{pmatrix} (20 * b * (a + c * 100))-4 \\ (30 * b * (a + c * 200))-5 \\ (40 * b * (a + c * 300))-6 \\ (50 * b * (a + c * 400))-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Anschließend kann mit Hilfe der Formel: $\begin{eqnarray} (D^{T}D)^{-1}D^{T}r \end{eqnarray}$ und beliebigen Startwerten für die Koeffizienten ein Vektor bestimmt werden, welcher mit -1 multipliziert die empfohlene Änderung der Koeffizienten im Rahmen des nächsten Iterationsschrittes angiebt. Soweit so gut... nur leider hab ich offensichtlich einen Fehler in meiner Vorgehensweise, da sich bei mir leider nichts annähert. Der Solver meint, das Ergebnis müsste a= -16,04860784 b= -0,012736348 und c= 0,013105675 sein. Wenn ich diese Wert eintrage, dann meint meine Matrix, ich sollte den Koeffizienten a weiter verändern - und so entferne ich mich wieder ^^ Über Hilfe wäre ich äußerst dankbar.
19.10.2012, 14:19	freshprince689	Auf diesen Beitrag antworten »
ich find diesen verdammten Fehler nicht, würde mich aber sehr freuen, wenn man einer drüber gucken würde...

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