Positiv semidefinite Matrizen

19.10.2012, 10:25	Hobbit91	Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv semidefinite Matrizen Meine Frage: Gegeben sei eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in \mathbb{R}^{p\times p} \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv semidefinit, so existiert GENAU eine positiv semidefinite Matrix $\begin{eqnarray} B\in \mathbb{R}^{p\times p} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=BB^T=B^2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wir haben die Positiv Semidefinitheit nur für symmetrische Matrizen definiert. Daher wissen wir, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ symmetrisch ist und eine Spektraldarstellung besitzt, d.h. $\begin{eqnarray} A= V \Lambda V^T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Lambda= diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\in \mathbb{R}^{p\times p}, V \end{eqnarray}$ orthogonale Matrix. Wähle $\begin{eqnarray} B=V \Lambda^{\frac{1}{2}} V^T \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} B=B^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A=BB^T=B^2 \end{eqnarray}$ . Jetzt muss noch die Eindeutigkeit gezeigt werden und da komme ich gar nicht weiter. Wir haben folgenden Hinweis bekommen: "Beachten Sie beim Nachweis der Eindeutigkeit, dass für zwei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray} M_1, M_2 \in \mathbb{R}^{p\times p} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} M_1^2-M_2^2 = \frac{1}{2}((M_1+M_2)(M_1-M_2)+(M_1-M_2)(M_1+M_2)) \end{eqnarray}$ ". Wenn ich also annehme, es gäbe noch ein $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ , die obige Eigenschaft erfüllt, kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray} 0=B'^2-B^2 =\frac{1}{2}((B'+B)(B'-B)+(B'-B)(B'+B)) \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt komme ich aber nicht weiter...
19.10.2012, 11:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt deine Aussage überhaupt? Angenommen man hat für die Matrix A eine "Wurzelmatrix" B gefunden, also $\begin{eqnarray} A=BB^T \end{eqnarray}$ . Dann ist doch diese Wurzel bis auf eine Drehung D unbestimmt. Das heißt, alle gedrehten Matrizen BD sind ebenfalls eine Wurzel von A, denn $\begin{eqnarray} BD(BD)^T=B\underbrace{DD^T}_{=E}B^T=BB^T=A \end{eqnarray}$ . Oder habe ich da was falsch verstanden?
19.10.2012, 12:12	Hobbit91	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oben erwähnt haben wir pos. Semidefinitheit nur für symmetrische Matrizen definiert, d.h. B muss symmetrisch sein. Allerdings ist $\begin{eqnarray} BD \end{eqnarray}$ ja nicht symmetrisch oder? $\begin{eqnarray} (BD)^T=D^TB^T=D^TB {\neq} BD \end{eqnarray}$
19.10.2012, 12:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann hast du recht.
20.10.2012, 02:52	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, starte mit B und diagonalisiere. Mit B^2 = A erhälst du, dass jedes solche B deine "vorherige Rechnung erfüllen muss". Beachte die Eindeutigkeit der Diagonalisierung. mfg
21.10.2012, 11:27	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hänge gerade an der gleichen Aufgabe und kann sergej88's tipp nicht so ganz nachvollziehen. Ich starte also mit einem positiv semidefiniten $\begin{eqnarray} B \in \mathbb R^{p \times p} \end{eqnarray}$ , das $\begin{eqnarray} B^2 = BB^T = A \end{eqnarray}$ erfüllt, also insbesondere auch symmetrisch ist. Mit dem Spektralsatz kann ich somit also sagen $\begin{eqnarray} B=T \Lambda_2 T^T \end{eqnarray}$ für ein orthogonales $\begin{eqnarray} T \in \mathbb R^{p \times p} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \implies B^2 = T \Lambda_2^2 T^T = A \end{eqnarray}$ nach der Annahme. Weil A ja ebenfalls symmetrisch ist, kann ich hier auch mit dem Spektralsatz sagen, dass $\begin{eqnarray} A=V \Lambda_1 V^T \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} B^2 = T \Lambda_2^2 T^T = V \Lambda_1 V^T \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} B^2 = A \end{eqnarray}$ gilt, weiß ich direkt schon, dass $\begin{eqnarray} Spektrum(B^2) = Spektrum(A) \end{eqnarray}$ , und weil ich die Eigenwerte (in unserem Fall jetzt absteigend) sortieren kann, gilt dann auch $\begin{eqnarray} \Lambda_2^2 = \Lambda_1 \end{eqnarray}$ und damit auch direkt $\begin{eqnarray} \Lambda_2 = \Lambda_1^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ . Wenn ich das jetzt also oben einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray} A= V \Lambda_2 V^T \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B^2 = T \Lambda_2^2 T^T = T \Lambda_1 T^T \end{eqnarray}$ . Nun ist aber doch im allgemeinen weder V noch T eindeutig bestimmt, oder? Wie kann ich damit also eindeutig erreichen?
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »