sigma Algebren

19.10.2012, 14:10

slider edge

sigma Algebren

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Die drei Eigenschaften in der definition der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebren sind unabhängig:
E1: Die leere Menge und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$
E2: Mit E $\begin{eqnarray*} \in \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt stets $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ \ E $\begin{eqnarray*} \in \varepsilon \end{eqnarray*}$
E3: Abzählbare Vereinigungen von Elementen aus $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gehören wieder zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

Finden sie ein Mengensystem auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , für das E1 und E2 gelten, E3 aber nicht.

Meine Ideen:
So, ich stecke in den Anfängen von Stochastik und mal wieder Mengenlehre, letzteres wurde von meinen vorhergegangenen Professoren gerne ausgespart.
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ = {1,2,3,4}
$\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ = {{1,2,3,4}, { $\begin{eqnarray*} \oslash \end{eqnarray*}$ }, {2,3},{1,4},{1,2,3},{4}}
E1: ist erfüllt, da $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \oslash \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ enthalten sind
E2: erfüllt, da zu jedem A das Komplement vorhanden ist
E3: nicht erfüllt, da zum Beispiel {2,3} $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {4} = {2,3,4} nicht in $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

Nun meine frage, ist die Aufgabe damit erfüllt?

20.10.2012, 09:33

Leopold

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RE: sigma Algebren

Zitat:

Original von slider edge
Nun meine frage, ist die Aufgabe damit erfüllt?

Ja. (Eine kleine Ungenauigkeit noch: $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ist bereits die leere Menge und darf deshalb nicht noch einmal in Mengenklammern gesetzt werden.)

20.10.2012, 21:06

slider edge

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Vielen lieben dank, fürs Rüberschauen und für den Tipp am Rande, den ich am Ende der VL hoffentlich verinnerlicht habe.
DANKE

22.10.2012, 13:25

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Hallo nochmal, nun grübel ich seit 2 Tagen und finde keine Lösung.
Ich soll nun ein Mengensystem erstellen bei dem E2 und E3 gilt, aber E1 nicht. Ich hab schon viel gebastelt aber finde keine Lösung, hat jemand ne Idee?

22.10.2012, 15:18

tmo

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Wie wärs mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \emptyset \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

22.10.2012, 15:22

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Aber was ist dann mit dem Komplement wegen E2?

22.10.2012, 15:41

tmo

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Inwiefern siehst du da ein Problem?

22.10.2012, 16:00

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Naja, das Komplement von der leeren Menge ist doch Omega und E2 sagt doch das zu jeder Teilmenge auch das Komplement vorhanden sein muss. Nun müsste ich doch wenn ich die leere Menge wähle auch Omega wählen damit E2 stimmt, dadurch würde aber auch wieder E1 gültig sein, was ja nicht sein soll.

22.10.2012, 16:03

tmo

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$\begin{eqnarray*} \varepsilon = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ sind zwei verschiedene paar Schuhe...

22.10.2012, 16:40

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Kannst du mir den bitte noch etläutern. Aber auf alle Fälle lieben Dank Freude