Kleine Beweisaufgabe

19.10.2012, 23:42	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Beweisaufgabe Hallo Leute, ich bin gerade zufällig über eine Aufgabe gestolpert und kriege diese einfach nicht gelöst. Die Aufgabe lautet: Zeigen sie, dass es keine ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} m,k \neq 0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} 10^{k} = 4^{m} \end{eqnarray}$ . Ich habe mir dazu folgendes überlegt: Im Kopf ist der Fall für mich ziemlich logisch. Ich habe mir mal die ersten Elemente der beiden Mengen aufgeschrieben und da sieht man, dass die 4er Potenzen nie auf eine glatte 10er Potenz kommt. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich dies beweisen soll. Ich habe schon an einen Beweis durch Widerspruch gedacht, aber auch damit bin ich nicht weit gekommen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Danke MCM Edit: Ich habe gesehen, dass ich dies versehentlich im Schulmathematik Bereich gepostet habe.. Es handelt sich aber um eine Uni Aufgabe Wäre cool, wenn das jemand schnell verschieben könnte =) Edit2: Danke =)
19.10.2012, 23:59	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, schreib mal die Potenz $\begin{eqnarray} 10^k \end{eqnarray}$ in eine Potenz der zur Basis 4 um. Also, $\begin{eqnarray} 4^{\ldots\, k}=4^m \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du den $\begin{eqnarray} \log_4 \end{eqnarray}$ ziehen und erhältst die Gleichung $\begin{eqnarray} \ldots\,k =m \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du jetzt gehst du mit der Vorraussetzung rein, dass m und k ganzzahlig sein sollen. Jetzt schau mal, ob du so weitgerkommst.
20.10.2012, 00:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einen elementareren Weg vorziehen: $\begin{eqnarray} 10^k = 4^m \end{eqnarray}$ kann man äquivalent umformen zu $\begin{eqnarray} 5^k = 2^{2m-k} \end{eqnarray}$ , und dann anschließend mit Teilbarkeit hinsichtlich des Primfaktors 5 argumentieren.
20.10.2012, 15:30	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Weg vom Mathewolf gefällt mir eigentlich sehr gut. Nur irgendwie habe ich keine Ahnung mehr wie man einen solchen Basiswechsel vollführt. Ich habe gerade auf Google geschaut und finde irgendwie keinen allgemeinen Weg, wie man da vorgeht. Hat da irgendwer einen kleinen Tipp? Ist mir irgendwie was peinlich, dass ich das nicht weiß =D Danke! MCM
20.10.2012, 15:51	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
geh doch über die Primfaktorzerlegung (analog zu @HAL). In 10 kommt 5 vor, in 4 nur 2. Also kann es keine $\begin{align} k,m \neq 0 \end{align}$ geben, die die Gleichung erfüllen.
20.10.2012, 20:29	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, zum Thema Basiswechsel: Wir haben eine Potenz $\begin{eqnarray} y=a^x, a>0, x\neq0 \end{eqnarray}$ gegeben. Wir wollen diese Potenz nun durch $\begin{eqnarray} y=b^{x'} \end{eqnarray}$ darstellen. Wir erinnern uns, das $\begin{eqnarray} b^{\log_b a}=a \end{eqnarray}$ ist. Nun benötigen wir nur noch die Potenzregel $\begin{eqnarray} (d^n)^m=d^{n\cdot m} \end{eqnarray}$ . Es gilt also $\begin{eqnarray} y=a^x=(b^{\log_ba})^x=b^{x\cdot\log_ba} \end{eqnarray}$ .
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22.10.2012, 08:32	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke euch beiden! Habe alles verstanden =) MCM

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