ist (Q-Z,*) eine Gruppe?

20.10.2012, 16:14

pitschlip

ist (Q-Z,*) eine Gruppe?

Meine Frage:
Meine Frage wäre ob die Menge der reellen Zahlen weniger der Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung "*" (Multiplikation) eine Gruppe ist.

Meine Ideen:
Meine Antwort darauf wäre:

Nein ist keine Gruppe, denn es gibt kein neutrales Element e mit a*e=a=e*a (welches 1 wäre).
Die Assoziativität und die Existenz eines inversen Elements ist meiner Meinung nach allerdings erfüllt.
Ist das so richtig?

20.10.2012, 16:23

Che Netzer

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RE: ist (Q-Z,*) eine Gruppe?
Hallo,

du meinst $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?
Das ist noch nicht einmal abgeschlossen unter Multiplikation, ein Inverses existiert auch nicht immer. Die Assoziativität ist die einzige Gruppeneigenschaft, die man hier noch hat.
Ein neutrales Element gibt es zwar nicht, aber das musst du ja erst noch zeigen. Es könnte ja ein anderes Element als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ geben.

mfg,
Ché Netzer

20.10.2012, 17:05

pitschlip

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ja genau das meine ich, wusste nur nich wie ich das in latex schreiben kann smile

lern ich aber auch noch^^

was meinst du denn mit

Zitat:

Das ist noch nicht einmal abgeschlossen unter Multiplikation

Ich wüsste jetzt auch nicht wie ich das beweisen kann, ob es ein anderes neutrales Element gibt oder nicht. Das Inverse zu $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ wäre doch dann $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b})^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} * \frac{b}{a} = e = \frac{b}{a} * \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} * e = \frac{a}{b} = e*\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

20.10.2012, 17:09

Che Netzer

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Damit meine ich, dass für $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ das Produkt $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ liegen muss. Das würde ich auch zeigen, um zu widerlegen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Wenn du von einem neutralen Element redest, müsste dazu erst die Multiplikation wohldefiniert sein. Wenn du von einem inversen Element redest, müsste es ein neutrales Element geben.

Zur Invertierbarkeit:
Und was ist denn mit dem Inversen von $\begin{eqnarray*} \tfrac12 \end{eqnarray*}$ ? Läge das in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2012, 17:36

pitschlip

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Ja das mit dem Inversen leuchtet mir ein smile

Also kann man quasi sagen, da die Multiplikation nicht wohl definiert ist ( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} * \frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1 \not\in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ), dass es kein neutrales Element geben kann? Oder muss man da noch mehr machen?

Edit: und daraus folgt dann, dass es keine Inversen gibt, da $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} * \frac{b}{a} = e \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt werden kann?

20.10.2012, 17:38

Che Netzer

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Wenn die Multiplikation nicht wohldefiniert ist, kann es keine gruppe sein, da eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q\setminus\mathbb Z)\times(\mathbb Q\setminus\mathbb Z)\to\mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ fehlt. Von einem neutralen Element kann man da gar nicht sprechen.

20.10.2012, 17:45

pitschlip

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Also muss man eigentlich nichts anderes machen außer zu zeigen, dass die Multiplikation nicht wohldefiniert ist.

20.10.2012, 17:46

chris95

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RE: ist (Q-Z,*) eine Gruppe?

Zitat:

Original von pitschlip
Meine Frage:
Meine Frage wäre ob die Menge der reellen Zahlen weniger der Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung "*" (Multiplikation) eine Gruppe ist.

Aendert zwar nicht viel, aber ist damit nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint.

20.10.2012, 17:47

Che Netzer

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Genau, mehr nicht.

Das mit den reellen Zahlen hatt ich überlesen Ups