Komplexe Zahlen, Imaginärteil von (z1*z2)=0

20.10.2012, 20:50

paggy

Komplexe Zahlen, Imaginärteil von (z1*z2)=0

Meine Frage:
Hallo erstmal,

hätte eine Frage bezüglich einer Aufgabe im Themenbereich Komplexe Zahlen.

Die Angabe ist:

Gegeben seien z1; z2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C (ohne 0) mit z1 = a + bi und z2 = c + di.

Sei z1 = 1 + 3i , Bestimmen Sie die Mengen:

$\begin{eqnarray*} M1 = \left\{ z2 \in C\ {0} | Im(z1z2) = 0\right\} \end{eqnarray*}$

das C soll die Menge der komplexen Zahlen sein...

Meine Ideen:
Hab das ma so verstanden das wenn ich z1 mit z2 multiplizier für den Imagniärteil dieser neuen komplexen Zahl 0 rauskommen muss (dann ja eig eine reelle Zahl).

z1*z2 = (ac-bd) + (ad+bc)i ---> also sag ich ad+bc = 0

a = 1 und b=3 --> bedeutet eingesetzt d+3c = 0

Dann komm ich nicht mehr weiter, nur ein Gleichung aber 2 Unbekannte ?!
Sind noch mehr Fragestellungen (zb Menge von Re(z1z2)=0) aber ich denke die funktionieren alle nach demselben Prinzip.

Wär cool wenn mir jemand helfen könnte ! schonmal danke im voraus !

20.10.2012, 20:55

Helferlein

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Du bist doch fast fertig. Forme es nach einer Variable um und setze es wieder in $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ein, dann hast Du alle Zahlen mit der gewünschten Eigenschaft.

21.10.2012, 10:16

paggy

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erstmal danke für deine schnelle Antwort! Freude

ganz blick ich noch nicht durch...also ich hab das jetzt so verstanden das ich umformen kann auf zB d= -3c und das soll ich dann in z2 einsetzen ? Das wär dann ja z2 = c - 3ci oder ?

Kann ich damit die Menge bestimmen ? Ich hätt jetzt eher einfach gesagt M1 ist dann die Menge aller z2 aus den komplexen Zahlen für die gilt d = -3c...geht das auch so ?

sry das ich da nochmal nachfragen muss^^

21.10.2012, 10:32

RavenOnJ

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du kannst doch jetzt in $\begin{align*} z_2 = c -3ci \end{align*}$ das c ausklammern und die Menge entsprechend mit dem Parameter $\begin{align*} c \in \mathbb{R} \end{align*}$ angeben.

Gruß
Peter

21.10.2012, 20:10

paggy

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ok danke jetzt habs ich verstanden, glaub ich.

Zusatzfrage ist jetzt diese Zahlenmenge grafisch in der Gauß'schen Zahlenebene darzustellen. da bin ich mir jetzt wieder net sicher was ich jetzt machen bzw. wie ich das jetzt genau darstellen soll.

Heißt das ich muss z2 = c * (1-3i) grafisch darstellen? Oder die Beziehung d+3c = 0 ?

Steh wieder auf'n Schlauch traurig

22.10.2012, 13:43

original

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RE: Komplexe Zahlen, Imaginärteil von (z1*z2)=0

Zitat:

Original von paggy

Sei z1 = 1 + 3i , Bestimmen Sie die Menge:

$\begin{eqnarray*} M1 = \left\{ z2 \in C\ {0} | Im(z1z2) = 0\right\} \end{eqnarray*}$

Zusatzfrage ist jetzt diese Zahlenmenge grafisch in der Gauß'schen Zahlenebene darzustellen.

z1 = 1 + 3i
z2 = x + i *y

$\begin{eqnarray*} z_{1} \cdot z_{2}= (x-3y) + (3x+y)\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Im(z_{1} \cdot z_{2})= 3x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Im(z_{1} \cdot z_{2})= 0 \end{eqnarray*}$

.. gibt eine irgendwie doch wohl bekannte Punktmenge mit y=-3x in der GaussEbene?

oder?

24.10.2012, 21:03

paggy

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ok jetzt wird mir das ganze ein bisschen klarer^^

danke vielmals für eure antworten ! Freude

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