Allg. Dreieck 2 Lösungen

21.10.2012, 12:12

mlk777

Allg. Dreieck 2 Lösungen

Meine Frage:
Mathematik - Allgemeines Dreieck 2.Lösungen

Gegeben ist ein Dreieck mit a = 5cm, b= 8cm, A = 16.9 cm^2
Gesucht sind Alpha Beta Gamma und die Seite c.

Wie erkennt man das es bei diesem Dreieck 2 Lösungen gibt?
Wie berechnet man die 2.Lösung?

Danke für die Hilfe!

Meine Ideen:
Die 1.te Lösung:

$\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{2A}{a*b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma = 57,65 \end{eqnarray*}$
--
$\begin{eqnarray*} c^{2} = a^{2}+b^{2}-2*a*b*cos(\gamma) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=6,8 cm \end{eqnarray*}$
--
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha )=\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2*b*c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha=38,42° \end{eqnarray*}$
--
$\begin{eqnarray*} \beta = 180-\alpha -\gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = 83,91° \end{eqnarray*}$

21.10.2012, 12:32

Stefan_TM

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RE: Allg. Dreieck 2 Lösungen
Hallo,

ich habe zwar nicht ausgerechnet, aber du hast die erste Lösung korrekt gemacht,
der Lösungsweg ist auf jedem Fall OK.
Zur zweiten Lösung:
Was wäre, wenn sin(gamma) statt 57,65° den Wert von 180°-57,65° hätte,
also statt Spitz- ein Stumpwinkel wäre?

21.10.2012, 14:13

mlk777

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Danke vielmals!
dann wäre:
$\begin{eqnarray*} \gamma 2=180- 57,67 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma2= 122,32° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2*a*b*cos(122,32)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{2}=11,48 cm \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{2}=arccos(\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2*b*c_{2}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha 2 = 21,6° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta =180-21,6-122,32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta =36,08° \end{eqnarray*}$

Ok dass wäre dann das richtige Ergebniss.
Aber wie erkennt man das es zwei Ergebnisse gibt?

21.10.2012, 14:50

Stefan_TM

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Wenn du mit dem TR nach sin^-1 des Wertes 2*A/(a*b) suchst,
wird eigentlich arcsin(2*A/(a*b)) errechnet.
Die Umkehrfunktion von sin(x), die arcsin(x) ist zwischen -90° bis +90° definiert(mit Werten von -1 bis +1),
deswegen wird nur 75,65° herausgegeben.
Von der Tigonometrie wissen wir (hast du schon gelernt?), dass
sin(x)= sin(180° -x),
so hat die zweite Lösung seine Berechtigung, seinen geometrischen Sinn.

22.10.2012, 06:27

Stefan_TM

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Hallo,

Sorry, ich muss mich hier korrogieren:
"Die Umkehrfunktion von sin(x), die arcsin(x) ist zwischen -90° bis +90° definiert(mit Werten von -1 bis +1)" ist falsch,

richtig ist
"Die Umkehrfunktion von sin(x), die arcsin(x) ist definiert zwischen -1 und 1 und nimmt Werte zwischen -90° bis +90°.
f: [-1,+1] ->[-pi/2, pi/2]
f(x)= arcsin(x). "

Der Rest ist richtig.
Vielleicht noch, falls du das noch nicht gelernt hast: pi ist hier nicht die irrationale Zahl
3,1415..., sondern Bogenmaß (Radian).
Ein 2*pi entspricht 360°, pi=180°, pi/2=90° u.s.w.

Ich bitte um Entschuldigung , wenn ich damit ein Bißchen verwirrt habe, aber leider kommt sowas vor:
"Errare humanum est, sed perseverare diabolicum"

22.10.2012, 14:57

opi

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Das klingt nun wirklich verwirrend:

Zitat:

Vielleicht noch, falls du das noch nicht gelernt hast: pi ist hier nicht die irrationale Zahl
3,1415..., sondern Bogenmaß (Radian).

Auch im Bogenmaß steht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ für die allseits beliebte Kreiszahl.

22.10.2012, 15:54

mYthos

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Die zweite Lösung resultiert aus den Kongruenzsätzen (SsW und sSW).
Wenn der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüberliegt, so können folgende Fälle eintreten:

- 2 Lösungen (Winkel w1, w2 sind supplementär, SIN(w) < 1)
- 1 Lösung, Winkel = 90° (SIN(w) = 1)
- keine Lösung (SIN(w) > 1)

--> 2. Auflösungsfall des allg. Dreieckes --> Sinussatz

mY+

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