Mengen

21.10.2012, 15:31

Mixer007

Mengen

Hallo, ich habe ein Problem mit einer Menge die man skizzieren soll.

Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} M_1 = { z \in C , (z-1-i) \leq 2 } \end{eqnarray*}$

die zwei Klammern sollen Betragsstriche darstellen, die ich nicht weiß wie ich sie schreiben soll.

21.10.2012, 15:46

DP1996

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Zuerst mal:
Die korrekte Notation ist $\begin{eqnarray*} M_1=\{z\in\mathbb{C}\left| |z-1-i|\leq2\}\right. \end{eqnarray*}$ Wenn du mit der Maus draufgehst, siehst du die Eingabe. Außerdem ist der Formeleditor ganz nützlich.

Zur Aufgabe:
Was heißt das denn (geometrisch in der komplexen Zahlenebene gesehen), wenn für zwei komplexe Zahlen a und b z. Bsp. gilt $\begin{eqnarray*} |a-b|=2 \end{eqnarray*}$ ?

21.10.2012, 16:24

Mixer007

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das ist der doch der Betrag von zwei komplexen Zahlen, der 2 ergibt.

21.10.2012, 17:06

DP1996

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Besser: der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen.

Aber eigentlich wollte ich wissen, was das geometrisch heißt. Auf welchem bekannten Satz basiert denn der komplexe Betrag $\begin{eqnarray*} |a_1+a_2i|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \end{eqnarray*}$ ?

21.10.2012, 18:25

Mixer007

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Satz von Pythagoras ?

ist doch die Länge damit gemeint?

21.10.2012, 18:51

DP1996

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Jo.

Länge ist zwar ebenfalls etwas unschön formuliert, du meinst aber das richtige. Der Betrag einer komplexen Zahl gibt den Abstand der Zahl zum Koordinatenursprung an, dementsprechend gibt also der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen den Abstand der beiden Zahlen an (jeweils natürlich in der komplexen Zahlenebene).

Was heißt das jetzt für die Aufgabenstellung? (Hinweis: (1+i) kann als eine zweite komplexe Zahl gesehen werden)

21.10.2012, 18:52

Mixer007

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das Der Abstand vom Ursprung nicht kleiner als 2 sein muss?

und dafür muss ja jetzt z finden oder wie?

21.10.2012, 18:58

DP1996

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Nee...

Zu erstmal:

Zitat:

Der Abstand vom Ursprung

Du willst alle komplexen Zahlen z finden so, dass $\begin{eqnarray*} |z-a|\leq2 \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} a=1+i \end{eqnarray*}$ ist. Ich habe oben geschrieben, dass der Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen dem Abstand dieser Zahlen entspricht, d.h. du willst alle Zahlen bestimmen, für die der Abstand zur Zahl a kleiner oder gleich 2 ist.
(Weißt du, was für eine Figur das ist?)

Zitat:

nicht kleiner als 2

oben steht aber $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ ...

21.10.2012, 19:12

Mixer007

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ein Kreis?

21.10.2012, 19:19

DP1996

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jip!