Unendlichkeit der Primzahlen-Perott

22.10.2012, 13:59

bouni

Unendlichkeit der Primzahlen-Perott

Meine Frage:
Ich habe mir letztens mal den Beweis von Perott zur Unendlichkeit der Primzahlen angeschaut. Mit dem Verständnis ging es eigentlich recht gut, bis die letzten zwei Zeilen kamen, und ich -so sehr ich mich auch bemüht habe- einfach nicht verstehe.
http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-perott.html
Ich weiß nicht, wie man auf die letze Ungleichung kommt. Wie die Anzahl von N, bzw die Abschätzung berechnet wurde hab ich verstanden, aber die letzten zwei Glieder der letzten Ungleichung und die Folgerung (den letzten Satz), das ergibt für mich keinen Zusammenhang..

Ich hoffe irgendjemand hat die Zeit bzw Lust dazu, es mir ein wenig zu erklären oder mir auf die Sprünge zu helfen.. Dankeschön smile

Meine Ideen:
Das, was ich aber von den letzten zwei Gliedern der letzten Ungleichung verstehe ist, dass die Summe der reziproken Quadratzahlen minus 1 --> 1-a ergibt. :/

22.10.2012, 15:17

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Das Abziehen der 1 ist ein Trick, der bewirkt, dass im letzten Schritt statt N(2-a) bloß
noch N(1-a) dasteht.

Da a eine feste Zahl größer 0 ist, kann man N so groß wählen, dass $\begin{eqnarray*} N \cdot a \geq 2^r \end{eqnarray*}$ (nach Annahme ist r nicht unendlich) und damit $\begin{eqnarray*} 2^r - N \cdot a \leq 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} 2^r-N \cdot a+N \leq N \end{eqnarray*}$ , aber ganz links beginnt die Ungleichungskette mit "N<..." , sodass N<N folgen würde, was der gewünschte Widerspruch ist.

Achso und die 1 kann man von der Summe der 1/n² abziehen, weil sie nicht in der Summe der Primzahlkehrwerte vorkommt (1 ist keine Primzahl). Das Abziehen der 1 verdirbt also nichts am Kleinerzeichen.
Das a kann man zwar explizit angeben (da die Summe der 1/n² bekannt ist), aber in dem Beweis wird bloß benötigt, dass a>0 eine feste Zahl ist.

23.10.2012, 22:36

bouni

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hey dankeschön!! Vielen, vielen Dank!!! smile

ähmm.. könntest du mir denn bitte nochmal erklären, wenn a nicht explizit angegeben werden muss, warum man einfach mal a von der summe abzieht? Also die Summe der reziproken Quadratzahlen ist ja natürlich größer als die Anzahl, die durch p ins Quadrat geteilt werden.. und wenn man eins abzieht ändert es daran nichts, weil ja 1 nicht bei den Primzahlen enthalten ist. Dann müsste man wenn die Summe der reziproken Quadratzahlen höchstens 2 ergibt, und wenn man 1 davon abzieht 1 bekommen.. und was macht jetzt einfach mal das a am ende? xD

Oder liegt dieses -a daran, dass die Summe der reziproken Quadratzahlen nicht ganz 2 ergeben, und darum, wenn man 1 davon abzieht, dann ergibt es nicht 1, sondern man muss a abziehen, und a ist sozusagen das, was noch fehlt?

23.10.2012, 23:44

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Zitat:

Original von bouni

Oder liegt dieses -a daran, dass die Summe der reziproken Quadratzahlen nicht ganz 2 ergeben, und darum, wenn man 1 davon abzieht, dann ergibt es nicht 1, sondern man muss a abziehen, und a ist sozusagen das, was noch fehlt?

Ja, und direkt kann man das aus der Gleichung obendrüber ablesen, wo das a das erste mal auftaucht bzw. definiert wird: 1-a ergibt gerade diese Summe minus 1.

Mit dem expliziten Angeben von a meinte ich bloß, dass man (Euler) rausgekriegt hat, dass die Summe der 1/n² gleich pi²/6 ist ; aber in diesem Beweis braucht man bloß, dass diese Summe kleiner als 2 ist, sodass 2 minus die Summe eben ein bestimmtes a>0 ergibt.

24.10.2012, 00:15

bouni

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ehrlich, vielen, vielen dank!!! smile

könntest du mir bitte noch eine letzte frage beantworten? smile

heißt es bei der Ungleichung/ Gleichung für die summe der reziproken Quadratzahlen nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{x^{2} } <1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{x^{2} } <1+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2012, 20:34

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Zitat:

Original von bouni
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Hier muss der Index mit n=2 losgehen, sonst teilt man im ersten Summand der Reihe durch 0.
Und mit einer Indexverschiebung erhält man

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 13:01

bouni

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Fühl dich mit Dank überschüttet smile

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