Messbarkeit, äußeres Maß

22.10.2012, 22:40

h4mmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Messbarkeit, äußeres Maß

Guten Abend alle zusammen,

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=0 , A=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=1, \end{eqnarray*}$ sonst.

Ich soll nun alle $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -messbare Mengen angeben.

Meine Idee:

Es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \forall Q: \mu (Q)\geq \mu (Q\cap A)+ \mu (Q\setminus A) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} A=\left\{ \right\}: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\geq 0+0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} Q=\left\{\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq 0+1 \end{eqnarray*}$ sonst

Als zweite mögliche Menge würde mir noch $\begin{eqnarray*} A=Q \end{eqnarray*}$ einfallen.

Gibts es noch weitere?

Großes Danke für eure Hilfe smile

smile

22.10.2012, 23:56

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

muss nicht sogar gelten $\begin{align*} \mu(Q) = \mu\left((Q\cap A)\cup (Q\setminus A) \right) = \mu(Q\cap A) + \mu(Q\setminus A) \end{align*}$ , wegen $\begin{align*} (Q\cap A)\cap (Q\setminus A) = \emptyset \end{align*}$ ?

Gruß
Peter

23.10.2012, 06:27

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jein. Das muss natürlich auch gelten, folgt aber direkt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (vermutlich) ein äußeres Maß ist.

Dass $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (wenn das die Grundmenge ist) messbar sind, ist aber keine große Überraschung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fang an mit "Angenommen, es gäbe eine messbare Menge $\begin{eqnarray*} A\neq\emptyset,\Omega \end{eqnarray*}$ ."

Etwas wie $\begin{eqnarray*} A=Q \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn, $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist ja nur eine "Testmenge".

23.10.2012, 08:27

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

@Che
Falls du im ersten Satz meine Frage beantwortet hast: Die Frage war eher rethorisch gemeint. Denn es ist doch wohl klar, dass er mit $\begin{align*} \mu \end{align*}$ ein äußeres Maß meinte. Deswegen hatte mich das unnötige $\begin{align*} \geq \end{align*}$ statt $\begin{align*} = \end{align*}$ irritiert.

Gruß
Peter

23.10.2012, 17:01

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ: Naja, andererseits ist das aber auch das einzige, was zu zeigen ist. So gesehen wäre $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sogar unnötig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist für die Aufgabe aber sowieso egal.

Übrigens: In "rhetorisch" schreibt man das h nach dem r. Als Merkregel: Alle Wörter (alt-)griechischen Ursprungs, die mit einem r beginnen, schreibt man mit rh.

24.10.2012, 02:04

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Übrigens: In "rhetorisch" schreibt man das h nach dem r. Als Merkregel: Alle Wörter (alt-)griechischen Ursprungs, die mit einem r beginnen, schreibt man mit rh.

So wie Rhein? Kleiner Scherz (Aber wer weiß, es heißt ja auch: $\begin{align*} \pi\alpha\nu\tau\alpha\;\; \varrho\varepsilon\tilde{\iota} \end{align*}$ ). Oder vielleicht eher wie 'Risiko'? Oder heißt es doch etwa 'Rhisiko'?

Schön, dass du bei mir einen meiner extrem seltenen Rechtschreibfehler gefunden hast, ich werde dir ewig dankbar sein. Ich als ehemaliger Altgrieche hätte das natürlich wissen sollen, wegen dem rho (und jetzt kannst du mich verbessern, weil ich statt des korrekten Genitivs den umgangssprachlichen Dativ benutzt habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Gruß
Peter

Anzeige

24.10.2012, 06:31

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Che Netzer

"Rachitis" würde auch deiner Regel widersprechen. Hier gilt wohl:"Keine Regel ohne Ausnahme."

Mit freundlichen Grüßen.

24.10.2012, 06:34

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar gibt es Ausnahmen, aber "in der Regel" kann man sich das so ruhig merken.

Na gut, vielleicht lieber "Fast alle Wörter, ...", wir sind ja Mathematiker smile

smile

25.10.2012, 23:02

h4mmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt bitte, dass ich mich erst jetzt wieder melde unglücklich

unglücklich

Also angenommen $\begin{eqnarray*} A\in \Omega \setminus \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu (Q)=\left\{ 0,1\right\} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \mu (Q)=0\Rightarrow Q=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Dann $\begin{eqnarray*} 0=\mu (\emptyset \cap A)+\mu (\emptyset \setminus A)=0+0 \end{eqnarray*}$ . Würde passen.(?)

Sei $\begin{eqnarray*} \mu(Q)=1\Rightarrow Q\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} 1=\mu (Q\cap A)+\mu (Q\setminus A)=1+1=2\neq 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} Q\setminus A=\emptyset \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} Q=A \end{eqnarray*}$ . Da Q aber beliebig ist, ist dies allgemein nicht gültig.

Daher existiert nur $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -messbare Menge.

Sorry nochmals für die späte Rückmeldung,
Gruß

25.10.2012, 23:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt alles nicht allzu viel Sinn, es fängt schon bei " $\begin{eqnarray*} A\in\Omega\setminus\emptyset \end{eqnarray*}$ " an.
Wie gesagt:
Angenommen, es gäbe ein messbares $\begin{eqnarray*} A\subset\Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\neq\Omega,\emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann erfüllt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die genannte Unglechung für beliebiges $\begin{eqnarray*} Q\subset\Omega \end{eqnarray*}$ , insbesondere für ...

25.10.2012, 23:11

h4mmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm,

....insbesondere für

1) A=Q

2) A und Q haben keine gemeinsamen Elemente

Gruß

25.10.2012, 23:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Dann passt es doch jeweils, du möchtest aber einen Widerspruch erzeugen.
Ich glaube, du hast dir da wirklich die beiden einzigen Fälle ausgesucht, in denen das nicht funktioniert Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2012, 23:14

h4mmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich jetzt nicht sagen, dass Q beliebig ist und daher

1) A=Q

2) A und Q haben keine gemeinsamen Elemente

nicht immer gilt?

25.10.2012, 23:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Und damit hast du noch keinen Widerspruch herbeigeführt. Gib eine Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ an, für die die Ungleichung nicht erfüllt ist.

25.10.2012, 23:23

h4mmer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq Q, A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Dann $\begin{eqnarray*} (Q\cap A)=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Q\setminus A)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

25.10.2012, 23:26

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt wie "Man kann sich irgendetwas überlegen, so dass es (nicht) klappt." Das ist kein Beweis.
Nochmals:

Zitat:

Gib eine Menge $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ an [...]

Du hast keine angegeben, sondern nur behauptet, dass eine existiert.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »