Induktion und Binomischer Lehrsatz

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DoubtGin Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion und Binomischer Lehrsatz
Meine Frage:
Übungsblatt zur Höheren Mathematik, Thema unter anderem Induktion + Binomischer Lehrsatz.

1) Beweisen Sie durch vollständige Induktion:



!!HIER IST DAS PRODUKT-, NICHT DAS SUMMENZEICHEN GEMEINT (hab es nicht gefunden)!!

2) Berechnen Sie die Ausdrücke

i) (obere Grenze soll 20 sein, die Funktion heißt einfach nur k³)

ii)

!!HIER IST DAS PRODUKT-, NICHT DAS SUMMENZEICHEN GEMEINT (hab es nicht gefunden)!!


3)

a) Ein Kapital K_{0} = 20000 Euro soll bei einer Bank angelegt werden. Bei m-maliger Verzinsung pro Jahr ergibt sich nach n Jahren und einem Zinssatz p der Endbetrag K_{n} gemäß der Formel



wobei }. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag K_{n} für n = 10, p = 6 und m = 2 (halbjährliche Verzinsung)?

b) Alternativ könnten zunächst K_{0} = 10000 Euro eingezahlt werden und dann jährlich weitere Einzahlungen in Höhe von k = 1400 Euro erfolgen. Der Endbetrag kann also wie folgt berechnet werden:



Schreiben Sie diese Zahlungsreihe kompakter mit Hilfe des Summenzeichens auf und leiten Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel eine einfachere Berechnungsformel her. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag K_{n} für n = 10, p = 6 bei dieser Anlageform?



Meine Ideen:
zu 1) Mich stört hier das N_{0} und allgemein habe ich schon beim Induktionsanfang Schwierigkeiten. Für n=0, n=1 und n=2 habe ich auf beiden Seiten nie das Gleiche bekommen. Ich gehe hierbei aus, dass ich bei den Potenzen was falsch mache?

Für n=0 hätte ich links 1 + a, rechts 1 - a stehen.

zu 2) Bei i) habe ich das Problem, dass da k^{3} steht und nicht 3^{k}. Ich wollte die Summe nämlich mit der geometrischen Summenformel lösen, aber dann müsste ich die Gleichung bzw. Summe ja ein wenig ändern, da sie ja bei 0 starten muss.

Wäre denn richtig?

Nehmen wir an ja, dann weiß ich aber nicht, wie ich das ohne Taschenrechner so berechnen soll und die Schreibweise



würde mir ja auch nicht helfen, weil ich das k immernoch in der Gleichung hab.

Bei ii) bin ich komplett ratlos (habe Probleme mit dem Produktzeichen).

zu 3)

Hier weiß ich nicht so recht, wie ich das alles einfacher berechnen kann.

Bei a) könnte ich z.B. einfach alle Werte in die Gleichung einsetzen und die Lösung liegt dann knapp über 36000 (Ergebnis wird wohl stimmen). Aber ich bin mir ja fast schon sicher, das wir das auch anders bestimmen können. Ich komme aber nicht darauf wie.

Bei b) muss ich ja zunächst alles zusammenfassen und der Abschnitt



hat dann bei mir dafür gesorgt, dass

(obere Grenze ist n-1, krieg ich i-wie nicht auf die Reihe).

Den vorderen Teil



könnt ich ja dann einfach übernehmen. Wäre das der richtige Ansatz? Die einfachere Berechnungsformel kriege ich auch nicht hin.

Das wären meine "Ideen" (wenn man das so nennen darf). Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion und Binomischer Lehrsatz
Zitat:
Original von DoubtGin
zu 1) Mich stört hier das N_{0} und allgemein habe ich schon beim Induktionsanfang Schwierigkeiten. Für n=0, n=1 und n=2 habe ich auf beiden Seiten nie das Gleiche bekommen. Ich gehe hierbei aus, dass ich bei den Potenzen was falsch mache?

Für n=0 hätte ich links 1 + a, rechts 1 - a stehen.

Ich weiß nicht, was du da rechnest. Für n=0 erhalte ich auf der rechten Seite . smile

Zitat:
Original von DoubtGin
zu 2) Bei i) habe ich das Problem, dass da k^{3} steht und nicht 3^{k}. Ich wollte die Summe nämlich mit der geometrischen Summenformel lösen, aber dann müsste ich die Gleichung bzw. Summe ja ein wenig ändern, da sie ja bei 0 starten muss.

Hmm. Vielleicht wurde in der Vorlesung eine Darstellung für die Summe besprochen? Ansonsten gibt es auch Formelsammlungen (Bronstein).
DoubtGin Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort und dafür, dass du die Gleichungen nochmal richtig aufgeschrieben hast.

Ja, du hast bei der ersten Augabe natürlich recht.



hätte ich dann raus. Ist das denn das Gleiche? Ich habe mal ein paar Werte für a eingesetzt und es scheint zu stimmen, aber kann ich das rechts (oder links) noch ein wenig umformen, um ganz sicher zu gehen?

Bei 2) bin ich echt überfragt. Im Skript finde ich nichts in der Richtung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1: schau dir den Zähler an und denke über binomische Formeln nach. Augenzwinkern

zu 2: dann bleibt nur die Formelsammlung oder mal den Tutor (den es hoffentlich gibt) fragen.
DoubtGin Auf diesen Beitrag antworten »

Also einfach auf beiden Seiten mit



multiplizieren?

Links käme ja mithilfe der dritten binomischen Formel



raus und rechts ja dann auch.

Okay, danke für die Hilfe, der Rest wird sich hoffentlich jetzt ergeben.

Bei 2) werde ich wohl wirklich einen Tutor fragen müssen (jup, wir haben welche Big Laugh ).

Hast du (oder jemand anderes) auch nen Tipp zur dritten Aufgabe? Da komm ich bei a) nur auf die Lösung, wenn ich das mit dem Taschenrechner ausrechne und das wird wohl nicht stimmen. Bei b) komme ich gar nicht weiter.

Danke nochmal.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion und Binomischer Lehrsatz
zu 3: Teil a ist in der Tat ein Fall für den Taschrechner.
Bei Teil b wurde schon ein Tipp gegeben: geometrische Summenformel. Betrachte dazu:

 
 
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