reelle Zahlenfolgen

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Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »
reelle Zahlenfolgen
Meine Frage:
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(, (, ( reele Zahlenfolgen, und es gelte sowie zeigen Sie:

a) Ist a=0 und ( eine beschränkte Zahlenfolge, so gilt auch

Meine Ideen:
Soweit so gut ich habe mir einige Beispiele zur Konvergenz angeschaut, die ich mehr oder weniger verstanden habe nun frage ich mich wie ich dies zeigen soll wäre dankbar für Hilfe
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst Du denn für großes abschätzen?
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

indem ich einsetze?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nein, man kann nicht einfach einsetzen. Es muss aber eine Bedingung für die Nullfolge geben, damit es eine Nullfolge ist. Es geht um die maximale Größe des Betrages der Folgenglieder für große n.

Gruß
Peter
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Bedingung für die Nullfolge, damit es eine Nullfolge ist okiii. Und wie lautet so eine Bedinung beispielsweise? Es geht um die maximale Größe des Betrages der Folgeglieder für große n hmm ? Und wie erreiche ich die maximale Größe des Betrages für große n ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

such mal nach 'Cauchy-Kriterium'

Gruß
Peter
 
 
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Folge heißt Cauchy-Folge wenn zu jedem Epsilon > 0
existiert n(Epsilon) , sodass
|-|<Epsilon, n,m N(Epsilon)
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

hmm wie bringe ich das jetzt in Bezug zur Aufgabenstellung
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich einen Ansatz gemacht, von dem ich Dich bitten würde ihn mal ganz systematisch zu verfolgen.

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wie kannst Du denn für großes abschätzen?


Was bedeutet es denn erstmal, jeweils streng nach euren Definitionen formuliert, dass konvergiert und beschränkt ist?
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde zuerst den Grenzwert von a und dann denn Grenzwert c berechnen falls ich es könnte^^ und Konvergenz heißt das die Folge gegen einen bestimmten Wert strebt also hier dann 0 < Epsilon und zur Beschränkheit würde ich sagen, dass es eine untere Schranke gibt die < Epsilon ist joa mhm
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja mal schreiben als und die Folge unter dem Limes dann aufspalten in zwei Folgen, einmal mit , die andere mit . Da Grenzwert der Folge , muss für eine Bedingung gelten.

Gruß
Peter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Ehrgeizige
und Konvergenz heißt das die Folge gegen einen bestimmten Wert strebt also hier dann 0 < Epsilon und zur Beschränkheit würde ich sagen, dass es eine untere Schranke gibt die < Epsilon ist joa mhm

Das ist ziemlich wachsweich. Beantworte bitte genau diese Frage:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Was bedeutet es denn erstmal, jeweils streng nach euren Definitionen formuliert, dass konvergiert und beschränkt ist?

mit einer exakten mathematischen Formulierung.
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann wage ich mich mal.

Das heißt doch für alle Epsilon > 0 existiert für alle n > für die gilt l - a l < Epsilon
sprich es existiert eine Epsilon Umgebung ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

, sonst würde die Folge nicht gegen a konvergieren.

Gruß
Peter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Ehrgeizige
Das heißt doch für alle Epsilon > 0 existiert für alle n > für die gilt l - a l < Epsilon

Das ist nicht exakt genug. So muß es heißen:

Für jedes Epsilon > 0 existiert ein , so daß für alle n mit n > gilt

Zitat:
Original von Der Ehrgeizige
sprich es existiert eine Epsilon Umgebung ?

Das ist nämlich dann die Folge deines falschen Grenzwertverständnis. Richtig muß es lauten:
Zu jedem epsilon existiert ein Folgenindex, so daß ab diesem Index alle Folgenglieder in der epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen.

Jetzt versuche dich mal an der Beschränktheit.
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

wenn eine Folge beschränkt ist, dann heißt es doch, dass die Folge konvergiert... Nun weiß ich immer noch nicht wie ich dies zeigen soll hab mir etliche Beispiele gesehen und da verschwinden einfach Sachen und weiß auch nicht...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das folgt nicht daraus. Denk an die beschränkte Folge, 1, -1, 1, -1 ,... .

Gruß
Peter
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

also:
a=o und c_n ist beschränkt... da a_n=a ist, ist auch a_n=0 oder wie??

Und dann wäre lim(a_n*c_n)=0
=lim(0*c_n)=0

aber ich denke das wäre zu einfach, wenn es so ginge.
Aber was anderes weiß ich echt nicht unglücklich
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Ehrgeizige
wenn eine Folge beschränkt ist, dann heißt es doch, dass die Folge konvergiert... Nun weiß ich immer noch nicht wie ich dies zeigen soll hab mir etliche Beispiele gesehen und da verschwinden einfach Sachen und weiß auch nicht...


Nein eine beschränkte Folge kann, aber muss nicht konvergieren Big Laugh Wohingegen jede Konvergente Folge beschränkt seien muss.
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe alles nochmal überdacht:

leider bekomme ich das mit latex nicht hin unglücklich

Da c_n beschränkt ist, gibt es ein alpha element von R+ mit |c_n| kleiner/gleich alpha für alle n.
Sei nun epsilon element von R+, da a_n Nullfolge ist, gilt somit |a_n|< epsilon/alpha für alle n.
Somit ist |a_n*c_n|<gleich|a_n|*aplha< epsilon/alpha*alpha=epsilon

Daraus folgt: a_n*c_n=o Nullfolge ...

vllt kann das ja jemand in latex schreiben und gucken obs stimmt smile
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

da beschränkt ist ein mit

Sei epsilon von da eine Nullfolge ist gilt < epsilon n

somit ist < = epsilon

und daraus folgt = 0 Nullfolge
American Jesus Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Verwendung von Quantoren und anderen Symbolen als Ersatz von deutschen Wörtern solltest du zumindest beim Aufschreiben fürs Übungsblatt besser absehen...

Die erste Zeile stimmt schon mal. Bei der zweiten Zeile hast du die Konvergenzdefinition nicht ganz richtig zitiert: Es muss nicht für alle n gelten, dass , sondern nur für alle n ab einem gewissen Folgenindex N.
In der dritten Zeile erschließt sich mir nicht, wie du darauf kommst, dass sein soll; auch die vorangehende Abschätzung stimmt so nicht.
Auch folgt natürlich nicht, wie in der vierten Zeile behauptet, dass , das Produkt konvergiert ja lediglich gegen 0.

Fazit: Die Idee stimmt, die Ausführung nicht.
American Jesus Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich sehe gerade, in der Version ohne Latex stimmt die dritte Zeile, da steht nämlich:

Zitat:
Somit ist |a_n*c_n|<gleich|a_n|*aplha< epsilon/alpha*alpha=epsilon
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

also ich verzweifel langsam unglücklich ich schlafe kaum und bringe nichts zu Papier
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt denn die zweite zeile der nicht-latex schreiweise?
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, dass du noch das typische Ersti Problem hast: Dir fehlt es an Konzentration. Wenn du am verzweifeln bist, dann mach auch ruhig zeitliche Pausen und guck dann noch einmal ruhig auf die Aufgabe und deine bisherigen Ansätze. Beachte sonst eigentlich nur, und das ist wichtig, dass der Bärenteil deiner Aufgaben darin besteht, Definitionen aus der Vorlesung richtig anzuwenden. Und zwar formal korrekt, ohne wenn und aber.

Zitat:
da beschränkt ist ein mit

Das ist ja schonmal richtig.

Zitat:
Sei epsilon von da eine Nullfolge ist gilt < epsilon n

Und hier wird es konfus. Die beiden Folgen sind unabhängig voneinander. Aus der Nullfolge Eigenschaft von ist es wenig sinnvoll, etwas für die Folge schließen zu wollen.

Zitat:
somit ist < = epsilon

Ich glaube an dieser Stelle zu wissen, was du dir hierbei gedacht hast. Aber a) ist es so nicht ganz richtig ge-tex-t, und b) können wir keine Gedanken lesen. Du solltest keine Zwischenschritte NUR gedanklich ausführen, sondern restlos jeden Schritt aufschreiben. Ich glaube, bei dieser Aufgabe hakt es auch nur noch am Aufschreiben, nicht am Inhaltlichen.

Zitat:
und daraus folgt = 0 Nullfolge

Vermeide solche flapsigen Ausdrucksweisen. Mathematisch gesehen ist diese Gleichung vollkommen falsch.
Der Ehrgeizige Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, hast mir mit deinem Beitrag echt nen positives Feeling gegeben!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Fassen wir den aktuellen Stand nochmal zusammen:

a) Die Folge c_n ist beschränkt, also gibt es ein alpha > 0 mit für alle n.
b) Die Folge a_n ist eine Nullfolge.

Zu zeigen: a_n * c_n ist auch eine Nullfolge. Konkret ist da also zu zeigen, daß es für jedes epsilon > 0 ein n_0 gibt mit für n > n_0 .

Wähle nun epsilon > 0 beliebig. Wir setzen .
Da a_n ist eine Nullfolge ist, gibt es zu ein n_0 mit .

Zeige nun, daß dann ist.
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

also schon mal vielen Dank nur leider wurde meine verwirrende nicht latex schreibweise nicht äquivalent in latex neu geschrieben, dadurch entstanden bei Der Ehrgeizige leider fehler, wie z.b (epsilon/alpha)*alpha.... sollte es heißen...


Trotzdem schonmal Danke...
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

also
|a_n*c_n|=0 somit ist ja auch |a_n|*|c_n|=0
da wir wissen das |a_n|<epsilon ist, und |c_n|< alpha.
und alpha kleiner epsilon ist kann man es so beweisen dass |a_n*c_n|<epsilon ist.
American Jesus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Un-aachen
also
|a_n*c_n|=0 somit ist ja auch |a_n|*|c_n|=0


Nein, es stimmt weder die eine noch die andere Aussage.

Zitat:
da wir wissen das |a_n|<epsilon ist, und |c_n|< alpha.
und alpha kleiner epsilon ist kann man es so beweisen dass |a_n*c_n|<epsilon ist.


Wieso sollte sein?

Du hattest es doch heute Nacht schon fast richtig, wenn auch ohne Latex, aufgeschrieben...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich hatte bis auf einen kleinen Schritt alles schon vorgekaut. unglücklich
Un-aachen Auf diesen Beitrag antworten »

sorry die Idee war auch nicht auf meinem Mist gewachsen ^^
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