Berechnen der Fläche die ein Zylinder aus einer Sphäre herausschneidet

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Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen der Fläche die ein Zylinder aus einer Sphäre herausschneidet
Meine Frage:
Die Sphäre



mit Radius r und Mittelpunkt im Ursprung und der Zylinder



sind gegeben

Berechnen sie den Oberflächeninhalt von

Meine Ideen:
Meine Idee:

Die Ungleichung von Z zu vereinfachen und dann mit einer Transformation in Kugelkoordinaten die Gleichung so vereinfachen, damit ich die Grenzen des Integrals über einen Winkel finden kann (der andere Winkel wird um 360 Grad rotiert und der Radius ist konstant).

Kugel Koordinaten:



Dann die Ungleichung vom Zylinder vereinfachen:



Jetzt die Kugelkoordinaten einsetzten:



Und hier stehe ich jetzt an...es müsste doch eine Möglichkeit geben die Nullstelle eines Winkels zu finden? Ich weiss nicht wie ich hier nach einem Winkel auflösen könnte?

Vielen Dank für die Tipps!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Kugelkoordinaten

Zitat:
Original von Bornstein

sind falsch, in der x-Komponente ist eine Korrektur nötig:

 
 
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Deine Kugelkoordinaten

Zitat:
Original von Bornstein

sind falsch, in der x-Komponente ist eine Korrektur nötig:



ah danke! dann sieht das so aus:



Dann erhalte ich folgendes Integral:



Da stimmt was nicht? geht nicht von 0 bis ?
Aber ich muss ja um die ganze Mantelfläche des Zylinders herum, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich mehrere Fehler: In der letzten Zeile muss zunächst mal links stehen

.

Nun heißt es erstmal nachdenken, über welche wir hier bei den Kugelkoordinaten reden: Das wäre sowie . Letzteres heißt stets , womit deine Ungleichung zu



wird. Für festes heißt dies übersetzt , also - bedenke, dass der Kosinus im Intervall streng monoton fallend ist!


P.S.: Selbstverständlich kann man für auch einen anderen Vollkreis nehmen, wie z.B. . Allerdings wird dann die Formulierung der Lösungsmenge zu (*) noch ein wenig komplizierter...
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Gleich mehrere Fehler: In der letzten Zeile muss zunächst mal links stehen

.


Tippfehler

Zitat:

Nun heißt es erstmal nachdenken, über welche wir hier bei den Kugelkoordinaten reden: Das wäre sowie . Letzteres heißt stets , womit deine Ungleichung zu



wird. Für festes heißt dies übersetzt , also - bedenke, dass der Kosinus im Intervall streng monoton fallend ist!


P.S.: Selbstverständlich kann man für auch einen anderen Vollkreis nehmen, wie z.B. . Allerdings wird dann die Formulierung der Lösungsmenge zu (*) noch ein wenig komplizierter...


Kannst du mir nochmals kurz helfen bei den Winkeln, habe da ein durcheinander:

Mit rotiere ich um die Mantelfläche des Zylinders von bis?

Und mit fahre ich die Sphährenwölbung ab?

Nach meiner Skizze wäre dann (Untere und obere Grenze von )

Und jetzt muss ich die Grenzen von abhängigmachen?

Danke für deine Hilfe, habe gerade ein kleines Chaos im Kopf...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

du hast mit zwei verschiedenen Bedeutungen benutzt, einmal als Koordinate, dann noch als Radius der Kugel. Beides zusammen geht nicht. Vielleicht nennst du den Radius der Kugel und guckst dann weiter.

Gruß
Peter
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
du hast mit zwei verschiedenen Bedeutungen benutzt, einmal als Koordinate, dann noch als Radius der Kugel. Beides zusammen geht nicht. Vielleicht nennst du den Radius der Kugel und guckst dann weiter.

Gruß
Peter


Ja das stimmt. dass ist blöd gewählt, aber die Gleichung habe ich ja trotzdem richtig umgeformt oder?

Jetzt weiss ich einfach nicht weiter mit den Winkeln(Integralgrenzen)...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
du hast mit zwei verschiedenen Bedeutungen benutzt, einmal als Koordinate, dann noch als Radius der Kugel. Beides zusammen geht nicht. Vielleicht nennst du den Radius der Kugel und guckst dann weiter.

Prinzipiell würde ich dir zustimmen - allerdings bewegen wir uns hier ausschließlich auf der Sphäre, und nicht innerhalb. Insofern stimmt das mit dem konstanten schon im vorliegenden Fall.

Zitat:
Original von Bornstein
Mit rotiere ich um die Mantelfläche des Zylinders von bis?

Beide Winkel beziehen sich auf das sphärische Koordinatensystem der Kugel - der Zylinder hat damit zunächst gar nichts zu tun. Mit derlei Interpretationen solltest du also vorsichtig sein, deine ist hier also nicht zutreffend.


P.S.: Hier mal ein Bild von dem ausgestanzten Körper, aus diesem Thread, in dem es aber abweichend um die Volumenbestimmung ging:

[attach]8389[/attach]
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


P.S.: Hier mal ein Bild von dem ausgestanzten Körper, aus diesem Thread, in dem es aber abweichend um die Volumenbestimmung ging:

[attach]8389[/attach]


OK , danke. Kann ich versuchen das Integral in einem Oktant zu bestimmen:

Im ersten Oktant wäre und

Dann wäre das Integral:

= jetzt habe ich das ganze einfach mal 4 gerechnet (4 Oktanten).


...keine Ahnung was ich hier genau mache aber was besseres fält mir gerad nicht ein... oder müsste sein?

Danke für eure Bemühungen aber ich glaube ich kann dieses Teil nicht lösen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bornstein
und

So gut verfolgst du also meine Ausführungen. unglücklich

Oder war es doch mehr als ein Tippfehler, und du hast mit dem falschen weitergerechnet.


P.S.: Es ist schon ziemlich niederschmetternd, mit welcher Sorglosigkeit über trigonometrische Gleichungen/Ungleichungen wie (*) hinweggefegt wird, ohne einmal das Gehirn wirklich einzuschalten. Selbst dann nicht, wenn brühwarm aufgeschlüsselt wird, was schiefgelaufen ist und wie es richtig geht. unglücklich
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Bornstein
und

So gut verfolgst du also meine Ausführungen. unglücklich

Oder war es doch mehr als ein Tippfehler, und du hast mit dem falschen weitergerechnet.


Nein ich habe schon mit gearbeitet,
aber ich glaube ich habe deine tipps nicht verstanden... Hilfe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles steht bereits oben - aber bitte, wiederholen wir es nochmal:

Zitat:
Original von HAL 9000
womit deine Ungleichung zu



wird. Für festes heißt dies übersetzt , also - bedenke, dass der Kosinus im Intervall streng monoton fallend ist!
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
womit deine Ungleichung zu



wird. Für festes heißt dies übersetzt , also - bedenke, dass der Kosinus im Intervall streng monoton fallend ist!


Was meinst du mit der Bemerkung streng monoton fallend, wieso ist das relevant?

Es tut mir leid, aber ich kann mit dem Tipps zur Zeit nichts anfangen... Meinst du damit das und ist?

Aber mir mach das keinen Sinn, dann fehlt doch der untere Teil der Fläche?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bornstein
Was meinst du mit der Bemerkung streng monoton fallend, wieso ist das relevant?

Oje, Basiskenntnisse über monotone Funktionen fehlen also auch noch:

Wenn streng monoton fallend ist, so folgt aus dann doch .

Genau das ist hier doch wichtig, wenn man aus (*) Schlussfolgerungen für ziehen will!
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Bornstein
Was meinst du mit der Bemerkung streng monoton fallend, wieso ist das relevant?

Oje, Basiskenntnisse über monotone Funktionen fehlen also auch noch:

Wenn streng monoton fallend ist, so folgt aus dann doch .

Genau das ist hier doch wichtig, wenn man aus (*) Schlussfolgerungen für ziehen will!


Mir sind die Eigenschaften von monotonen Fkt. sehr wohl bekannt, aber ich kann keine Schlussfolgerungen zu meinem Winkelproblem ziehen.

Danke trotzdem für deine Bemühungen!

Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist im Intervall streng monoton fallend, die Aussage



kann somit für alle angewandt werden. Was ich im Fall dann auch getan habe, wobei ich zudem noch das wegen gültige einbezogen habe.


Zitat:
Original von Bornstein
trotzdem

Trotz was? Bitte stecken lassen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir folgendes: Konstruiere einen Kegel, dessen Spitze im Mittelpunkt der Kugel liegt, und der bis zur Oberfläche der Kugel geht. Du willst nun wissen, wie groß der Teil der Oberfläche der Kugel ist, der von dem Kegel ausgeschnitten wird. Dafür kannst du das Volumen des Kegels berechnen, was eine Funktion in (=Radius der Kugel) ergibt. Die Größe der Oberfläche ergibt sich durch die Ableitung .

Jetzt musst du nur noch bei der Berechnung des Kegelvolumens in Kugelkoordinaten bei den Integrationsgrenzen von die Abhängigkeit von einbauen. Das Integral sieht dem zur Berechnung des Kugelvolumens sehr ähnlich, nur die Integrationsgrenzen von gehen nicht mehr von bis , sondern zeigen eine -Abhängigkeit. Aus Symmetriegründen kann man die Berechnung auch in einem Oktanten durchführen mit

Um die Beziehung von dem Kegel zu deinem Zylinder herzustellen: Die eine Schnittfläche des Zylinders soll identisch sein mit der Schnittfläche des Kegels.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Konstruiere einen Kegel, dessen Spitze im Mittelpunkt der Kugel liegt, und der bis zur Oberfläche der Kugel geht. Du willst nun wissen, wie groß der Teil der Oberfläche der Kugel ist, der von dem Kegel ausgeschnitten wird.

Will er das? Die Frage im Eröffnungsposting sagt was anderes.


Nichts gegen Alternativvorschläge, aber wenn sie vom Thema her so völlig verfehlt sind wie dieser hier (weil er einen völlig anderen geometrischen Sachverhalt beschreibt), dann ist das einfach nur ärgerlich. unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

es geht ja letztendlich nur um die Frage, wie groß der Teil der Oberfläche der Kugel ist, der von dem Zylinder ausgeschnitten wird. Ich habe dieses Problem transformiert. (s. auch die Ergänzung zu meinem letzten Posting)

@HAL
Ich hoffe, du hast mein letztes Posting nochmal gelesen und nimmst dann deine Einschätzung zurück.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Um die Beziehung von dem Kegel zu deinem Zylinder herzustellen: Die eine Schnittfläche des Zylinders soll identisch sein mit der Schnittfläche des Kegels.

Ist sie nicht: Falls du von einem geraden Kreiskegel mit Spitze im Kugelmittelpunkt sprichst, der schneidet die Kugel in einem Kreis. Der "nicht mittige" Zylinder der hiesigen Aufgabestellung tut dies nicht, siehe obige 3D-Skizze.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ich sprach nicht von einem Kreiskegel, sondern von einem ganz allgemeinen Kegel.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was für einer? Details, sonst ist dein Vorschlag unbrauchbar und einfach nur störend.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe genug Hinweise gegeben. Noch mehr wäre die Lösung zu präsentieren und das kann ja jetzt nicht Sinn der Sache sein. Aber glaub mir: Ich habe die Lösung und sie ist denkbar einfach.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was das ganze soll: Wenn du mit irgendeinem krummen Kegel argumentierst, der das obige Schnittgebilde treffen soll, dann kommst du doch letztendlich eh nur wieder auf die Oberflächenformel

,

die Bornstein eh schon in Begriff ist anzwenden. Es ist doch nicht diese Formel, die er erst herleiten will/muss, es ist das Herantasten an das zweidimensionale Integrationsgebiet , was ihm so Probleme bereitet. Und da nützt auch ein unbestimmt beschriebener Kegel nichts. Schade, dass du das nicht einsiehst.
Bornstein Auf diesen Beitrag antworten »

mal von der anderen Seite aus....wo liegt bei meinem Vorschlag der Fehler?


=

Ich kann ja auch von abhängig machen...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

es geht um die Berechnung des erwähnten Teils der Oberfläche und um mehr nicht. Auf welchem Weg das passiert, ist erst mal egal. Ich habe die Konstruktion des Kegels genau beschrieben. Aber wenn man sich nicht die Mühe macht, richtig zu lesen ...

Im Übrigen: Beenden wir diese unleidliche Diskussion. Ich habe einen eleganten Weg präsentiert, den du anscheinend nicht verstehst. Muss jetzt weg.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Im Übrigen: Beenden wir diese unleidliche Diskussion. Ich habe einen eleganten Weg präsentiert, den du anscheinend nicht verstehst. Muss jetzt weg.

Du hast nichts präsentiert als eine vage Beschreibung eines umständlichen Weges, der noch über das Volumen gehen will. Und das ohne Details, dafür aber mit großfressigem Gehabe, und entgegen des Boardprinzips, wonach man erstmal die Beendigung eines Weges abwarten soll, bis man mit einem Alternativweg aufkreuzt.

Wenn du aber so scharf drauf bist, Bornstein das zu erklären, dann bitte sehr - it's your stage. Desertieren ist nicht. Forum Kloppe


Im übrigen liegt das erwähnte Integrationsgebiet seit 9:57 hier vor, es wurde nur von Bornstein bisher nicht richtig eingesetzt.

@Bornstein

Ich rede von

,

letzteres mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge, weil da die Integralauswertung etwas einfacher ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL
Ich bin nicht "desertiert", ich schrieb, dass ich weg muss. Denn ich habe auch noch wichtigere Dinge zu tun, als mich hier im Board aufzuhalten.

Du mahnst Board-Prinzipien an, beherzigst sie aber selber nicht. Zu denen gehört nämlich ein Umgangston ohne Beleidigungen u.ä.. Dies hast du an mehreren Stellen verletzt. Ich will jetzt hier nicht alles aufzählen, es reicht, deinen letzten Beitrag zu lesen, um das zu sehen ("... mit großfressigem Gehabe"). Lies mal in dem von dir verlinkten Beitrag den Abschnitt 'Inhalte' und 'Umgangston'. Ich bin im Gegensatz zu dir von Anfang bis Ende höflich geblieben.

Dann zu deinem, wie ich finde unberechtigten Anwurf, ich hätte erst mal die Beendigung deines Weges abwarten sollen. Dazu zitiere ich nochmal aus "Prinzip - Mathe online verstehen!": "Erst wenn Du merkst, dass ... der User mit den Erklärungen überfordert ist, kannst Du eingreifen " (Hervorhebung von mir).

Genau das war nämlich der Fall.
Zitate Bornstein:
a) 11:30 "Danke für eure Bemühungen aber ich glaube ich kann dieses Teil nicht lösen."
[Deinen nächsten Beitrag um 11:41, in dem du Bornstein in ungehobelter Weise angehst, möchte ich nicht unerwähnt lassen]
b) 11:45 "aber ich glaube ich habe deine tipps nicht verstanden... Hilfe"
c) 11:56 "Es tut mir leid, aber ich kann mit dem Tipps zur Zeit nichts anfangen..."

Erst um 14:10 habe ich dann eingegriffen, da ich den Eindruck hatte, Bornstein versteht dich einfach nicht (ich hatte nie bezweifelt, dass deine Herangehensweise richtig ist, nur was bringt sie, wenn er sie nicht versteht?). Nur deswegen habe ich versucht, ihm einen anderen Weg aufzuzeigen. Und dieser ist weder "vom Thema her völlig verfehlt", noch "unbrauchbar" oder "umständlich" (alles Zitate von dir), sondern meiner Ansicht nach relativ einfach. Es ging mir darum, den Sachverhalt von einer anderen Seite zu beleuchten. Dass das letztendlich zum selben Ergebnis führt wie dein Weg, ist eigentlich klar, es ist unlauter, mir das vorzuwerfen ("... dann kommst du doch letztendlich eh nur wieder auf die Oberflächenformel"). Die Tatsache, dass du mich erst mal komplett missverstanden hast ("Kreiskegel"), spricht nicht unbedingt dagegen. Dass ich hier keine komplette Lösung präsentieren wollte, zumindest nicht zu diesem Zeitpunkt, dürfte klar sein.

Gruß
Peter
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Gerede, wenig Inhalt.

Beweis doch mal, dass deine Herangehensweise einfacher bzw. einfacher zu verstehen ist, und somit deine Einmischung einen Schritt vorm Ziel wirklich berechtigt war.


P.S.: Eine Entschuldigung für die "große Fresse" gibt es erst dann, wenn du endlich mal den eleganten Weg nennst, von dem ich mir "nicht die Mühe gemacht habe, ihn zu lesen". Bisher gab es mit keiner einzigen Silbe Details dazu, wie man den Integrationsbereich auf verständlichere Weise als heute früh im Thread ermittelt.
dia Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Zitat:
Original von Bornstein
mal von der anderen Seite aus....wo liegt bei meinem Vorschlag der Fehler?


=

Ich kann ja auch von abhängig machen...


Der Fehler ist links der Cosinus
(man könnte natürlich auch sagen die Integrationsgrenzen sind falsch siehe HAL 9000)

Aber ich hätte gleich den Sinus genommen (einfacher gehts nicht)



VG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das basiert dann aber auf anders parametrierten Kugelkoordinaten



Kann man natürlich auch machen, man sollte bloß zwischendurch nicht zu oft diese Pferde wechseln, ansonsten geht der Überblick verloren. Big Laugh
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