Extremwertaufgabe: Maximales Tankvolumen |
| 24.10.2012, 21:18 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe: Maximales Tankvolumen Ein Tank hat die Form eines Zylinders mit einem unten angesetzten Kegel. Es sind folgende Maße des Tanks bekannt: Höhe des Zylinders hz=2m, Mantellinie des Kegels s=6m, Grundfläche von Zylinder und Kegel haben denselben Radius r. Die Höhe des Kegels sei hk b.)Enwickeln Sie eine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von der Höhe des Kegels. V(hk)= c.) Wie groß müssen die Höhe des Kegels und der Radius sein, damit das Tankvolumen maximal wird?Berechnen Sie das maximale Volumen. Meine Ideen: Zuerst fertige ich natürlich eine Skizze an und trage gegebene Größen ein. Also einen Zylinder und darunter hab ich einen umgekehrten Kegel rangemalt. Dann hab ich mir die allgemeinen Formeln von Zylinder und Kegel aufgeschrieben und schon komm ich nicht mehr weiter...könnte mir jemand helfen? |
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| 24.10.2012, 21:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe Ich helfe gerne. Wie lauten denn deine Formeln? Und kannst du r durch hk ausdrücken? 
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| 24.10.2012, 21:39 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe jetzt die formel für das volumen vom zylinder= pi * r^2 * 2 Volumen des Kegels wäre= 1/3 * pi r^2 *h |
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| 24.10.2012, 21:40 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was hat denn die Höhe des Kegels mit dem Radius zu tun? |
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| 24.10.2012, 21:42 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Höhe des Kegels, der Radius und die Mantellinie des Kegels hängen über den Pythagoras zusammen. Stelle die Gleichung auf und stelle sie nach r² um.
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| 24.10.2012, 21:48 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
s^2=h^2 + r^2 r^2=s^2 -h^2 |
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| 24.10.2012, 21:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, wo bei du s gegeben hast und den Wert auch einsetzen solltest. 
Das ² schreibt man übrigens sehr schön mit AltGr2.
Jetzt fasse doch mal beide Volumenformeln zu einer einzigen zusammen.
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| 24.10.2012, 21:58 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V= 4g+ 1/3 * h ? |
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| 24.10.2012, 22:00 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso für das g = Grundfläche könnte ich auch pi * r² einsetzen |
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| 24.10.2012, 22:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das r² muss jetzt ersetzt werden.
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| 24.10.2012, 22:01 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also noch einmal V= g * h + 1/3 * g * h dann für g= pi * r² einsetzen |
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| 24.10.2012, 22:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, bitte mach das. Deine einzige Variable soll schließlich hk sein.
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| 24.10.2012, 22:03 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist denn die zusammengesetzte Volumenformel für Kegel und Zylinder richtig? |
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| 24.10.2012, 22:06 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V= g * hz + 1/3 * g * hk 
Ich habe ein wenig ergänzt, also die Höhen unterschieden.
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| 24.10.2012, 22:06 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der Satz des Pythagoros gilt jetzt nur für den Kegel? |
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| 24.10.2012, 22:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, denn für den Zylinder hast du hz ja gegeben. Allerdings kannst du deine Erkenntnis zu r², die du am Kegel erhältst, auch auf den Radius beim Zylinder übertragen, weil beide Radien ja gleich sind.
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| 24.10.2012, 22:08 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Pythagoras ich fange mal an: V= pi * r² * 2 + 1/3 * pi * r² * hz und jetzt falls dies richtig wäre, würde ich für bei r² den umgeformten Formel (Satz des Pythagoras) einsetzen Entschuldigung: die umgeformte Formel edit von sulo: 4fach Post zusammengefügt. |
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| 24.10.2012, 22:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, mache das bitte.
Und: Du kannst editieren. Ich werde deinen 4fach Post gleich mal zusammenfassen zu einem Beitrag. |
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| 24.10.2012, 22:19 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok das wusste ich nicht. V= pi * s² - h² * 2 + 1/3 * pi * s² - h² * hz und dann für s=6 einsetzen und vlt auch gleich das h=2 ?? |
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| 24.10.2012, 22:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für hz solltest du auf jeden Fall 2 und für s die 6 einsetzen.
Jetzt hast du leider die notwendigen Klammern vergessen. Die müssen unbedingt hin.
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| 24.10.2012, 22:26 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, also s²-h² in Klammern hz hatte ich ja schon eingesetzt und h bleibt ersteinmal so stehen? |
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| 24.10.2012, 22:28 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das meine ich.
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| 24.10.2012, 22:30 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V= pi * (36 - h²) * 2 + 1/3 * pi * (36-h²) * hk |
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| 24.10.2012, 22:32 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schön.
Du könntest jetzt ableiten, ich selber würde aber erst die Klammern ausmutliplizieren und 4 Summanden bilden, weil das Ableiten dadurch einfacher wird. Außerdem musst du spätestens nach dem Ableiten die Klammern eh auflösen.
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| 24.10.2012, 22:38 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so also ich würde auch erst die Klammern auflösen, hab aber irgendwie Probleme mit dem pi, da dann ungerade zahlen herauskommen V= pi * (72 - 2h²) + 1/3 * pi * (36*hk - h²hk) |
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| 24.10.2012, 22:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum? Du kannst das pi doch einfach mitschleppen: V(hk) = 72·pi - 2·pi·hk² + 12·pi - 1/3·pi·hk³
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| 24.10.2012, 22:51 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, hab verstanden, aber ich komme dann auf V= 72pi -2pih²+12pihk - 1/3hpih²hk |
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| 24.10.2012, 22:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ja, da war ich abgelenkt, das hk bei den 12pi habe ich vergessen: V(hk) = 72·pi - 2·pi·hk² + 12·pi·hk - 1/3·pi·hk³ Beachte, dass alle h jetzt hk sind, du kannst sie also zusammenfassen.
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| 24.10.2012, 23:01 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann: V= 72*pi - 2*pi*h² + 12*pi*h - 1/3*h³ und dann jetzt die erste Ableitung: V(h)´= -h²+12*pi-4*pi*h ? |
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| 24.10.2012, 23:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hattest ein pi vergessen, sonst stimmt es.
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| 24.10.2012, 23:15 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann ich jetzt durch pi teilen? |
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| 24.10.2012, 23:17 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde die Ableitung erst Null setzen. Dann kannst du durch pi teilen, am besten gleich durch -pi.
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| 24.10.2012, 23:18 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau erst 0 setzen, da notwendige Bedingung dann wäre h1=6 und h2=2 |
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| 24.10.2012, 23:20 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
h1 = -6, scheidet somit als mögliches Ergebnis für die Kegelhöhe aus.
Die Kegelhöhe beträgt also 2m.
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| 24.10.2012, 23:21 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber h1 ist doch +6 und h2=-2 |
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| 24.10.2012, 23:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es ist andersherum. Hast du durch - pi geteilt? |
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| 24.10.2012, 23:29 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau geteilt durch - pi h²-4h-12=0 h²-4h+4=16 (h-2)²=16 dann die Wurzel ziehen und dann komm ich auf mein Ergebnis |
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| 24.10.2012, 23:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V(h)' = -h²*pi - 4*pi*h + 12*pi | : (-pi) V(h)' = h²+ 4*h - 12
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| 24.10.2012, 23:32 | YINA | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt
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| 24.10.2012, 23:34 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss jetzt leider off gehen. Du musst noch r und V ausrechnen. Zu V verrate ich mal, dass es knapp unter 270 m³ sind.
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