Fragen zu Matrizen und Rang

24.10.2012, 21:37

redd

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Fragen zu Matrizen und Rang

Grüß euch,

ich habe einige Aufgaben zu machen und wollte die Antworten mal checken lassen. Ich bin mir bei einigen nicht ganz sicher. Sie sollen wahr oder falsch sein.

1. Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) =1, Rg(B) =1 und Rg(AB) =0. Falsch

2. Es gibt quadratische Matrizen A und B über R mit Rg(A) =1, Rg(B) =1 und Rg(AB) =1. wahr

3. Es gibt quadratische Matrizen A und B, deren Einträge 0 oder 1 sind, sodass Rg(AB) =1, falls A und B Matrizen über R sind, und Rg(AB) =0, falls A und B Matrizen über F2 sind. wahr

4. Es gibt quadratische Matrizen A und B über R, sodass Rg(AB) == Rg(BA) gilt. falsch

5. Es gibt eine quadratische Matrix A über R mit Rg(A) =2, Rg(AA) =1 und Rg(AAA) =1.
falsch

6. Sei K ein Körper, und sei A Element Mmn(K). Sei Rg(A) =m. Dann gilt m =< n. wahr

7. Sei K ein Körper, und sei A2 Mmn(K). Sei Rg(A) =n. Dann gilt m =< n. falsch

8. Sei K ein Körper, und seien A,B Element M(K). Dann gilt Rg(A +B)= Rg(A) + Rg(B). wahr

9. Sei K ein Körper, und sei A2 Mmn(K). Dann ist A zeilenäquivalent zu −A. wahr

10. Sei K ein Körper, und seien C,D Element M(K). Wenn Rg(C) = Rg(D), so folgt Rg(CC) = Rg(DD). falsch

was meint ihr? danke im Vorraus. smile

smile

24.10.2012, 22:06

Helferlein

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Ist das ein Multiple-Choice-Fragebogen?
Ich kann nämlich bei keiner einzigen Aufgabe erkennen, wie Du auf das Ergebnis gekommen bist, oder ob Du nur rätst.
Bei letzterem wäre es müssig Dir zu antworten, da das einer Komplettlösung gleich käme.

24.10.2012, 22:12

redd

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geraten ist das nicht. Man muss keine Begründungen angeben, nur richtig oder falsch.

lg

24.10.2012, 22:15

Helferlein

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Dann wirst Du es sicher begründen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im übrigen sind einige Antworten falsch, andere richtig.

24.10.2012, 22:22

redd

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ich habe das gefühlsmässig entschieden. ich meine nun, dass Nr. 4, 5, 8 wohl andersrum ist.

lg

24.10.2012, 22:35

Helferlein

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Also doch geraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Machen wir es so: Wenn Du zu jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel bringen kannst, dann passt es. Bei jeder richtigen Aussage eine Begründung und Du kriegst auch eine Antwort, ob es stimmt, oder nicht.

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24.10.2012, 23:25

123test

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darf ich auch mitspielen??

25.10.2012, 00:53

123test

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ich probiere es trotzdem evtl erbarmt sich ja einer und meine mühe wird belohnt!

1´und 2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
da bei matrizen multiplikation nur die 0 = 0 erzeugen kann ist es nicht möglich 2 matrizen mit je rang(1) zu multiplizieren und einen rang(0) zu bekommen
deshalb behaupte ich 1 falsch ;2 wahr

3 wenn für F2 definiert ist 1*1=0 so ist laut rechnung die behauptung ebenfals wahr!
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4 da matrizen nicht komutativ sind ist Rg(ab) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Rg(ba) ebenfals
wahr

5 ich hoffe das ich da die aufgabenstellung richtig verstanden habe!
hier soll doch A*A=Rg(AA) sein
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
somit ist fall fur A*A schon nicht richtig und die aussage ist falsch

6/7 das kann ich nicht gut begründen aber ich versuchs!
wenn Rg(a)=m sind in jeder zeile ein rang ! da der rang aber abhängig von n ist muss m=n sein oder m<n somit ist 6 wahr und 7 falsch

den rest gibts morgen! schon zu spät geworden!!!

25.10.2012, 09:38

redd

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jo, zu 1. habe ich als quadr. Matrix mal einfach als Eintrag eine reelle Zahl, ausser Null Big Laugh

Big Laugh

da Rang=1. Dann Zahl * Zahl = Zahl -> wieder Rang = 1. -> Nr. 1 also falsch, 2. wahr.
zu 4. habe ich auch wg. Komutativität

lg

25.10.2012, 10:59

carna

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Aber gilt das denn für alle ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

z.B.
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.10.2012, 11:54

123test

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ja !!???
muss ich nachlesen! soweit mir bekannt ist wird der rang durch die treppennormalform bestimmt! und es werden zeilenumformungen so gemacht das die nullzeilen nach unten "rutschen"
so leicht kann man mich verunsichern!
werde heute abend mich nochmal dran setzen!

25.10.2012, 12:16

carna

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Also mein Einwurf bezog sich auf die 1. Aufgabe

Zitat:

Original von 123test
ich probiere es trotzdem evtl erbarmt sich ja einer und meine mühe wird belohnt!

1´und 2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da bei matrizen multiplikation nur die 0 = 0 erzeugen kann ist es nicht möglich 2 matrizen mit je rang(1) zu multiplizieren und einen rang(0) zu bekommen
siehe obige beiden Matrizen

deshalb behaupte ich 1 falsch ;2 wahr

3 wenn für F2 definiert ist 1*1=0 so ist laut rechnung die behauptung ebenfals wahr!
Es gilt $\begin{eqnarray*} 1+1= 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4 da matrizen nicht komutativ sind ist Rg(ab) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Rg(ba) ebenfals
wahr
Matrizen sind im allgemeinen nicht kommutativ.
....

25.10.2012, 22:10

123test

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jaa ehhm habs nachgelesen die invertierbare matrix hat den gleichen rang! somit ist diese aussage wohl richtig

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bedeutet wohl das 1 ebenfals wahr ist!
2 bleibt wahr da es ja matrizen gibt die diese eigenschaft erfüllen!
3. völlig richtig F2 hatte ja nur 0 und 1 somit ist die aussage wohl falsch
4."Matrizen sind im allgemeinen nicht kommutativ" genau das wollte ich als laie sagen, deshalb habe ich auch wahr behauptet
5. ??? keiner ne antwort?
6/7 bin ich wirklich unsicher wäre schön wenn es nochmal proffesionel erklärt wird!

es geht weiter
8 diese aussage gilt für Amxn matrizen und somit sollte es auch für quadratische matrizen gelten. somit wahr
9 diese aussage ist richtig da die inverse zeilenäqivalent ist .wahr

10 da hab ich kein plan was verlangt wird aber ich meine man kann es mit der aufgabe 5 vergleichen und somit sollte das ganze ebenfals wahr sein

25.10.2012, 22:17

Helferlein

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Zitat:

Original von 123test
4."Matrizen sind im allgemeinen nicht kommutativ"

Kann mir mal bitte jemand erklären, was ihr unter einer kommutativen Matrix versteht?
Soweit mir bekannt ist, ist Kommutativität eine Eigenschaft von Rechenoperationen, nicht von Elementen einer Menge.

25.10.2012, 22:31

123test

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wollte damit nur sagen das A*B nicht das selbe ist wie B*A und das diese auch für den rang der matrix gilt! wenn ich falsch liege korriegiere mich bitte!

wo ist eigentlich redd??? der hat das hier angeleihert !!!

25.10.2012, 22:40

Helferlein

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Eben und deshalb würde ich auch darum bitten weitere Diskussionen die nächsten Tage zu unterlassen, denn wie oben schon gesagt: Jede Antwort, die wir ihm geben, ist eine Komplettlösung, da er ja nur die Auswahl zwischen wahr und falsch hat.
Da Dich die Antworten zu interessieren scheinen, können wir in ein paar Tagen ja weiter machen, wenn die Abgabefrist vorbei sein dürfte.

Noch etwas: Die Aufgabe steht im Hochschulbereich und deshalb sind präzise Formulierungen gefragt, weswegen ich auch nach den kommutativen Matrizen fragte.
Richtig heisst es "Die Matrixmultiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ". Alles andere hat im Hochschulbereich nichts verloren.

25.10.2012, 22:55

123test

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sorry aber redd muss selber entscheiden wie er arbeitet !
wenn er meint er könne durch abschreiben etwas erreichen ist das sein ding!
ich bin mir aber recht sicher das er sehr bald selber zu der erkenntnis kommt das es so nicht geht!

ich sitze allerdings im gleichen boot und arbeite wirklich fast jeden abend vor den aufgaben versuche was zu lernen, verstehen und anzuwenden!
fällt mir auch nicht leicht aber ich gebe mir mühe und versuche es und will nicht aufgeben!!! viele dinge die man wissen sollte sind vergessen müssen erst wieder hergestellt werden. basic muss wieder aufgearbeitet werden und gleichzeitig das tempo um die einsendearbeiten zu schaffen!
ich versuche jeden abend hier zu sein und etwas zu lernen!
möchte nicht wegen andere user ausgeschlossen werden

26.10.2012, 23:58

123test

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bitte nochmals um hilfe!!!

30.10.2012, 22:31

123test

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agbage termin war gestern! wird es jetzt aufgeklärt!

30.10.2016, 11:27

MacKermit

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F2 1*1=0 ?!?
Da ich momentan am selben Thema arbeite, ist mir folgendes Aufgefallen:
Gilt in F2 nicht 0*0=0*1=1*0=0 und 1*1=1?

Gruß
MacKermit

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