Nicht-Teilbarkeit nachweisen oder widerlegen

25.10.2012, 14:19

sqrt(infinity)

Nicht-Teilbarkeit nachweisen oder widerlegen

Hallo,

ich bin im Allgemeinen durchaus mit der Thematik betraut.

Es geht um folgendes: Man zeige oder widerlege, dass für alle natürlichen Zahlen n, n²-2 nicht durch 5 teilbar ist.

Ich habe verschiedene Ansätze ausprobiert, zuweilen ohne Erfolg, hat jemand eine zielführende Idee?

ps: Ich bin überzeugt, die Aussage gilt.

Beste Grüße

25.10.2012, 14:36

HAL 9000

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Ich nehme an, die Modulrechnung ist dir nicht vertraut, ansonsten wärst du ja nach Durchprobieren der fünf möglichen Reste fertig?

Das kann man natürlich auch ohne Kenntnis der Modulrechnung tun, da sieht's ausgeschrieben nur etwas aufwändiger aus.

25.10.2012, 15:00

sqrt(infinity)

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Tja dann wäre zu zeigen, dass eben nicht gilt: $\begin{eqnarray*} n²-2 \equiv 0 mod_{5} \end{eqnarray*}$ entsprechend sind die anderen vier Möglichkeiten zu prüfen.

Leider ist das Thema schon etwas länger her ich denke, dass bei dieser Aufgabe nicht vorgesehen ist, es so zu rechnen,kannst du mir dennoch zeigen wie mans macht und wie die Alternative aussähe?

25.10.2012, 15:10

HAL 9000

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Na wie ich sagte: Jede Zahl liegt in irgendeiner Restklasse modulo 5. Wenn du also alle 5 Restklassen hinsichtlich der Operation $\begin{eqnarray*} n^2-2\bmod 5 \end{eqnarray*}$ prüfst, ist doch alles klar:

$\begin{eqnarray*} 0^2-2 \equiv -2 \equiv 3\bmod 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\pm 1)^2-2 \equiv -1 \equiv 4\bmod 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\pm 2)^2-2 \equiv 2\bmod 5 \end{eqnarray*}$

ich sehe da in keinem Fall eine Null, also was ist die Schlussfolgerung?

25.10.2012, 15:21

sqrt(infinity)

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Ok dann hatte ich das Thema nicht ausführlich genug, mir ist nämlich nciht klar wieso es reicht ganze Zahlen -2 bis 2 einzusetzen.

Wie sähe eine Alternative aus?

Ich hatte zumindest die Idee, zu zeigen, dass n = $\begin{eqnarray*} \sqrt{5s+2} \ mit \ s \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht natürlich ist. Das ist mir jedoch nicht gelungen

25.10.2012, 15:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von sqrt(infinity)
Ok dann hatte ich das Thema nicht ausführlich genug, mir ist nämlich nciht klar wieso es reicht ganze Zahlen -2 bis 2 einzusetzen.

Also doch zu wenig Kenntnisse der Modulrechnung? Dann war aber

Zitat:

Original von sqrt(infinity)
ich bin im Allgemeinen durchaus mit der Thematik betraut.

reichlich irreführend, denn das ist absolutes Basiswissen.

25.10.2012, 15:26

sqrt(infinity)

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Ist die Frage ernst?
Zitat: "Dann hatte ich das Thema nicht ausführlich genug" -> Also ja.

25.10.2012, 15:27

sqrt(infinity)

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Da man die Aufgabe ohne modulo lösen soll, bin ich mit dem sonstigen was die Aufgabe verlangt, betraut, keine Sorge ;-)
(Hatte das auch schon klar gemacht)

25.10.2012, 15:49

HAL 9000

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Aus den Modulo-Rechenregeln folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} x\equiv y\bmod m \quad \Rightarrow\quad p(x)\equiv p(y)\bmod m \qquad (*) \end{eqnarray*}$

für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Das gilt auch für $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-2 \end{eqnarray*}$ .

Und (*) ist natürlich die Rechtfertigung dafür, $\begin{eqnarray*} p(x)\bmod m \end{eqnarray*}$ nur für jeweils einen Repräsentanten aus jeder Restklasse zu berechnen - das genügt.

EDIT: Zu spät gelesen:

Zitat:

Original von sqrt(infinity)
Da man die Aufgabe ohne modulo lösen soll

Ja dann eben mit $\begin{eqnarray*} (5k+r)^2-2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r=0,\pm 1,\pm 2 \end{eqnarray*}$ , ist inhaltlich dasselbe, nur mehr Schreibarbeit.

25.10.2012, 16:02

sqrt(infinity)

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Ok, diese Folgerung, dass das reicht war mir nicht bewusst und ist (leider) kein bestandteil des Fachs dem die Aufgabe entstammt.

Danke.

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