G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.

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donpain Auf diesen Beitrag antworten »
G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Guten Abend!

Ich sitze gerade an meinem ersten Übungszettel. Lineare Algebra. Ich konnte auch alle Aufgaben bis jetzt mit ziemlicher Tüftelei lösen (hoffentlich richtig verwirrt ), nur die letzte bereitet mir arge Kopfschmerzen und ich hoffe, dass mir jemand von euch weiterhelfen kann.

Ich gebe nun erstmal die Aufgabenstellung wieder:
"Sei G eine feste Menge mit genau 3 verschiedenen Elementen. Konstruieren Sie eine Verknüpfung * auf G, so dass G eine Gruppe bildet. Wieviele mögliche Gruppen gibt es?"

Meine Vorgehensweise bis jetzt:

Sei G := [a, a^-1, e] mit a != a^-1 != e.
* : G x G --> G
Und an dieser Stelle habe ich einfach jede mögliche Kombination (sprich 9) definiert und zwar so, dass sie (hoffentlich) allen Gruppenaxiomen genügen.
Beispiel: (a,a^-1) |--> a*(a^-1) := e

Meine Fragen:
1. Ist das überhaupt eine aktzeptable Lösung der Aufgabe oder habe ich an der Aufgabenstellung vorbei gearbeitet. Ich komme mir ein bisschen so vor, als hätte ich versucht ein verstecktes Hintertürchen zu finden, weil mir keine "einfache" Verknüpfung eingefallen ist.
2. Ich versteh den zweiten Teil der Aufgabenstellung überhaupt nicht. Was ist mit "Wieviele mögliche Gruppen gibt es?" gemeint? Variiert die Anzahl der möglichen Gruppen nicht, abhängig von der Verknüpfung die ich wähle?

Ich hoffe jemand von euch ist so nett und versucht mich zu erleuchten. smile

Einen schönen Restabend wünsche ich,
Marius
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Original von donpain
Und an dieser Stelle habe ich einfach jede mögliche Kombination (sprich 9) definiert und zwar so, dass sie (hoffentlich) allen Gruppenaxiomen genügen.


Jede mögliche Kombination von was? Ich vermute mal, von Produkten der Gruppenelemente, aber es wäre nett gewesen, wenn Du das auch so geschrieben hättest.

Zunächst mal ist es nicht falsch, die Struktur einer Gruppe über eine Multiplikationstafel zu definieren, aber konkret für die Aufgabe musst Du Dir nicht die Mühe machen, alle die Tabelleneinträge aufzulisten. Du hast erkannt, dass zwei der drei Elemente nichttrivial sein müssen und daher zwangsläufig zueinander invers. Zusammen mit den definierenden Gleichungen für die Gruppenstruktur hast Du schon alle Relationen erhalten, die in der Gruppe gelten können (und damit auch alle Produkte, d.h. Einträge in der Multiplikationstabelle).

Zitat:
Original von donpain
2. Ich versteh den zweiten Teil der Aufgabenstellung überhaupt nicht. Was ist mit "Wieviele mögliche Gruppen gibt es?" gemeint? Variiert die Anzahl der möglichen Gruppen nicht, abhängig von der Verknüpfung die ich wähle?

Doch, genau das ist damit gemeint. Auf einer Menge mit vier Elementen lassen sich z.B. zwei "verschiedene Gruppenmultiplikationen" definieren. "Verschieden" bedeutet, unter der einen Verknüpfung kann es eine Relation geben, die unter der anderen Verknüpfung nicht gilt und damit sind beide Gruppen nicht isomorph.

Auf der Menge mit nur einem Element lässt sich hingegen nur eine Gruppenstruktur definieren, wie Du vielleicht leicht einsehen kannst. Auf einer Menge mit zwei Elementen ebenso. Wie sieht es nun in unserer Situation mit drei Elementen aus?
 
 
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Hey, ersteinmal danke für deine schnelle Antwort!

Zitat:
Jede mögliche Kombination von was? Ich vermute mal, von Produkten der Gruppenelemente, aber es wäre nett gewesen, wenn Du das auch so geschrieben hättest.


Verzeihung. Ich meinte, ich habe für jede mögliche Verknüpfung zweier Elemente der Menge G definiert, welchen Wert sie haben soll.
Darf ich hier denn überhaupt von Produkten oder Multiplikation sprechen? Das ist für mich alles noch ziemlich schwer, mein Gehirn sagte mir nur "Das ist eine "allgemeine" Verknüpfung und kein multiplizieren.".

Zitat:
Du hast erkannt, dass zwei der drei Elemente nichttrivial sein müssen und daher zwangsläufig zueinander invers. Zusammen mit den definierenden Gleichungen für die Gruppenstruktur hast Du schon alle Relationen erhalten, die in der Gruppe gelten können [..]


Das verstehe ich noch nicht so ganz. Wie du gesagt hast, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ich sozusagen nur ein Element der Menge frei wählen kann und die zwei anderen diesem anpassen muss, sodass ich ein inverses und ein neutrales Element in der Menge habe. Sehe ich das nun richtig, dass ich die Multiplikationstabelle weglassen kann, weil die Gruppenaxiome diese sozusagen schon beinhalten? Gehe ich dann nicht schon davon aus, dass es sich um eine Gruppe handelt, obwohl ich das noch nicht sicher weiß? Wenn ich die Elemente der Menge a, b und c nennen würde, müsste ich dann die Multiplikationstabelle aufschreiben? verwirrt

Zitat:
Wie sieht es nun in unserer Situation mit drei Elementen aus?

Wenn ich das richtig verstehe: Da ich ein neutrales Ele. und ein inverses Element benötige, welche beide abhängig vom dritten Element der Menge sind, gibt es doch nur eine Möglichkeit?

Ich hoffe ich stelle nicht zu "dumme" Fragen, es ist ziemlich viel für den Anfang.
Grüße
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Original von donpain
Darf ich hier denn überhaupt von Produkten oder Multiplikation sprechen? Das ist für mich alles noch ziemlich schwer, mein Gehirn sagte mir nur "Das ist eine "allgemeine" Verknüpfung und kein multiplizieren.".

Ein guter Einwand. Bei allgemeinen Gruppen schreibt man die Verknüpfung oft als und nennt sie Multiplikation. (Wenn man schon weiß, dass die Gruppe abelsch ist hingegen direkt .) Insofern ist es okay, sie trotzdem Multiplikation zu nennen, weil eh klar ist, dass es sich im allgemeinen um eine Verallgemeinerung der Multiplikation auf den reellen Zahlen o.ä. handelt.

Zitat:
Original von donpain
[...]Wie du gesagt hast, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ich sozusagen nur ein Element der Menge frei wählen kann und die zwei anderen diesem anpassen muss, sodass ich ein inverses und ein neutrales Element in der Menge habe. Sehe ich das nun richtig, dass ich die Multiplikationstabelle weglassen kann, weil die Gruppenaxiome diese sozusagen schon beinhalten?

Ja, das siehst Du richtig.

Zitat:
Original von donpain
Gehe ich dann nicht schon davon aus, dass es sich um eine Gruppe handelt, obwohl ich das noch nicht sicher weiß? Wenn ich die Elemente der Menge a, b und c nennen würde, müsste ich dann die Multiplikationstabelle aufschreiben? verwirrt

Formal korrekt ist die Reihenfolge so. Ist als Menge gegeben, so definieren wir als neutrales Element der Gruppe. Ferner muss augrund des Inversengesetzes das nichttriviale Element ein Inverses haben. A priori könnte erstmal auch zu sich selbstinvers sein, d.h. . Was würde dann aber mit dem Element bzw. passieren?

Zitat:
Original von donpain
Ich hoffe ich stelle nicht zu "dumme" Fragen, es ist ziemlich viel für den Anfang.

Keine Sorge, für mich bist Du auf einem guten Weg. Wink
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Ferner muss augrund des Inversengesetzes das nichttriviale Element ein Inverses haben. A priori könnte erstmal auch zu sich selbstinvers sein, d.h. . Was würde dann aber mit dem Element bzw. passieren?

Dann müssten wir noch ein weiteres Inverses zu b (und zu ab) in der Menge haben, damit die Gruppenstruktur gegeben wäre? Dies ist aber nicht möglich, wenn wir nur 3 Elemente haben. Also folgt, dass b das Inverse zu a sein muss?

Wie bringe ich die Verknüpfung denn dann formal aufs Papier ohne jeden Fall durchzugehen?
* : G x G -> G
Ab hier wüsste ich nicht weiter...
(a,b) |--> a*b := ?

Und nocheinmal zurück zu der möglichen Anzahl an Gruppen. Wenn das richtig ist, das a nicht selbstinvers sein kann, dann ist dies doch gerade die Begründung dafür, dass es nur eine mögliche Gruppe geben kann? Oder vermische ich hier jetzt etwas?

Zitat:
Keine Sorge, für mich bist Du auf einem guten Weg. Wink

Danke für den Mut! *grins* Es macht auch Spaß! smile
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Original von donpain
Dann müssten wir noch ein weiteres Inverses zu b (und zu ab) in der Menge haben, damit die Gruppenstruktur gegeben

Richtig, und wenn wir jetzt mal mutigerweise annehmen, dann muss das Inverse von entsprechend durch welches Element gegeben sein?

Edit: Nach Gewohnheit schreibe ich das neutrale Element oft als statt . Ich bin bemüht, mich in diesem Thread an die anfangs gesetzte Konvention zu halten. Falls mir aber doch, wie eben erneut eine unterkommen sollte, bitte ich Dich sie einfach syonym zu zu lesen. Augenzwinkern
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Richtig, und wenn wir jetzt mal mutigerweise annehmen, dann muss das Inverse von entsprechend durch welches Element gegeben sein?


Dann muss auch b selbstinvers sein? e kann nicht das Inverse zu b sein, da gelten muss e * b = e und wenn e inverses Element zu b wäre müsste auch e * b = b gelten, was e = b implizieren würde. Dies ist aber nach Voraussetzung nicht erlaubt, also kann e nicht das Inverse zu b sein.
Wenn a das Inverse zu b wäre, müsste a * b = e gelten, das wäre doch auch noch möglich?
Also a oder b könnten Inverse zu b sein?
Dann hätten wir also zwei mögliche Gruppenstrukturen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Original von donpain
Dann muss auch b selbstinvers sein?

Ja, da darauf wollte ich hinaus. Begründung:

Zitat:
Original von donpain
Dann muss auch b selbstinvers sein? e kann nicht das Inverse zu b sein, da gelten muss e * b = e und wenn e inverses Element zu b wäre müsste auch e * b = b gelten, was e = b implizieren würde. Dies ist aber nach Voraussetzung nicht erlaubt, also kann e nicht das Inverse zu b sein.

Ja, genau.

Zitat:
Original von donpain
Wenn a das Inverse zu b wäre, müsste a * b = e gelten, das wäre doch auch noch möglich?

Das wäre möglich (ganz am Ende kommt ja auch genau das heraus). Aber in unserem Szenario hatten wir schon vorausgesetzt, d.h. ist selbstinvers. Wenn selbstinvers ist und gilt, warum kann dann nicht auch das Inverse zu sein?
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: G sei Menge mit 3 Elementen. Verknüpfung * gesucht, so dass (G,*) Gruppe.
Zitat:
Wenn selbstinvers ist und gilt, warum kann dann nicht auch das Inverse zu sein?


Stimmt, logisch. Ich hatte einen Gehirnaussetzer. Big Laugh
Begründung:
Wenn a selbstinvers, dann: a * a = e
Wenn a inverses Element zu b, dann: a * b = e
Also: a * a = e = a * b => a = b und das ist nach Voraussetzung ein Widerspruch. smile

Folglich gibt es zwei Gruppenstrukturen für eine dreielementige Menge. 1. Möglichkeit: a, Inverses zu a, Neutrales zu a. 2. Möglichkeit: zwei selbstinverse Elemente, ein neutrales Element.
Richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. smile Wir haben jetzt also angenommen und daraus angenommen. Was folgt daraus für das Element ?
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir haben jetzt also angenommen und daraus angenommen. Was folgt daraus für das Element ?


Wenn gilt:
a * a = e
b * b = e

Dann folgt: e * e = a * a * b * b = ab * ab => ab = e
smile
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In Deiner Gleichung hast Du und vertauscht, was Du nicht ohne weitere Begründung tun kannst.

Es muss ja gelten. Welche Kandidaten kommen hier als Elemente infrage?
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Kandidaten kommen hier als Elemente infrage?


Ich verstehe, dass ich die Kommutativität nicht voraussetzen kann, aber deine Frage verstehe ich nicht ganz. Willst du darauf hinaus, dass ab garkein Element von G ist und die Abgeschlossenheit nicht gegeben ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wir müssen schon voraussetzen, dass gilt. Wir haben jetzt genau drei Möglichkeiten, was sein könnte. Ist nicht so schwer, die alle mal durchzudenken. Augenzwinkern
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verwirrung steigt. Big Laugh

Also ich muss irgendetwas für ab folgern und zwar aus a * a = e und b * b = e.
Mir fällt gerade absolut nichts ein, wie mit der Gleichung a * a = b * b ohne Vertauschen irgendetwas für a * b folgern könnte. Ich hab jetzt verucht die Inversen auszunutzen, aber dadurch kriege ich gerade auch keine sinnvolle Folgerung hin.

a * a = b * b
a * a * b = b * b * b
a * a * b = e * b

Aber jetzt bekomm ich das zweite a auf der linken Seite auch nicht weg, ohne Kommutativität annzunehmen. Also ich wüsste gerade nicht wie.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, verfolge doch mal meinen Ansatz. Es muss sein, also oder oder gelten. Was folgt denn nun je aus diesen Annahmen?
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh, daraus folgt:
ab = a => b = e, nach Voraussetzung nicht erlaubt
ab = b => a = e, nach Voraussetzung nicht erlaubt
ab = e => b ist Inverses zu a oder a ist Inverses zu b, da das Inverse doch aber eigentlich eindeutig ist (?) und a und b selbstinvers, ist dies auch nicht möglich?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donpain
Ahhhh, daraus folgt:
ab = a => b = e, nach Voraussetzung nicht erlaubt
ab = b => a = e, nach Voraussetzung nicht erlaubt

Genau.

Zitat:
Original von donpain
ab = e => b ist Inverses zu a oder a ist Inverses zu b, da das Inverse doch aber eigentlich eindeutig ist (?) und a und b selbstinvers, ist dies auch nicht möglich?

Ja, vollkommen richtig. smile

So, was machen wir nun mit unserem Ausgangsproblem, ein Inverses für finden zu wollen? smile

Edit: Sorry, ich hatte den letzten zitierten Teil sehr unaufmerksam gelesen. Alles okay.
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So, was machen wir nun mit unserem Ausgangsproblem, ein Inverses für finden zu wollen? smile


Jetzt können wir sagen, dass eine Gruppenstruktur nicht existieren kann, wenn a und b selbstinvers sind. Sie ist aber gegeben, wenn a := beliebig, b := Inverses zu a und e := neutrales Element von G.
Sprich: b muss das Inverse zu a sein.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Und, wenn wir nun anfangs die Rollen von und vertauschen? Ist diese Struktur dann eine "andere" als die gerade besprochene?

Edit: Etwas stärker sollte man noch sagen: Eine Gruppenstruktur kann nicht existieren, wenn selbstinvers ist. (Denn dann bist auch selbstinvers...)
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und, wenn wir nun anfangs die Rollen von und vertauschen? Ist diese Struktur dann eine "andere" als die gerade besprochene?


Vom Gefühl her würde ich sagen nein, weder die Namensgebung noch die Reihenfolge, wie ich die Elemente aufschreibe, spielt doch eine Rolle?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, so ist es. smile Mathematisch ausgedrückt könnte man dann zwischen beiden Strukturen einen Isomorphismus finden (der in unserem Fall leicht anzugeben ist) und isomorphe Strukturen sind für uns eben als gleich anzusehen.

Tatsächlich ist es so, dass für Gruppen von Primzahlordnung immer nur eine Gruppenstruktur gibt (nämlich die zyklische Restklassengruppe ). Das beweist man normalerweise in einer Einführungsvorlesung über abstrakte Algebra mit dem Satz von Lagrange. Wenn Du Muße hast, kannst Dir auch jetzt schon versuchen das zu überlegen. Bis auf den verlinkten Wikipedia-Artikel und dort referenzierter Definitionen ist kein Vorwissen nötig. Normalerweise macht man das aber nicht in den Lineare-Algebra-Vorlesungen und entsprechend solltest Du als Hausaufgabe den von uns besprochenen Weg abgeben. Augenzwinkern
donpain Auf diesen Beitrag antworten »

Super. smile Ja, das werde ich mir am Wochenende mal angucken. Für heute hab ich erstmal mein Limit erreicht. smile

Ich danke Dir ganz herzlich für Deine geopferte Zeit, Du hast mir sehr geholfen. Jetzt kann ich mit gutem Gewissen schlafen gehen: :b

Grüße
Marius
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donpain
Ich danke Dir ganz herzlich für Deine geopferte Zeit, Du hast mir sehr geholfen.

Wenn Opfer den von mir gefetteten Zweck erfüllen, bringe ich sie gerne. Augenzwinkern

Viele Grüße! Wink
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