Maximaler Umfang - Kreis im Rechteck

25.10.2012, 21:25

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Maximaler Umfang - Kreis im Rechteck

Hi Leute,

ich habe folgende Aufgabe. Ich soll den maximalen Umfang eines Rechtecks bestimmen mit einem Kreis der sich innerhalb des Rechtecks befindet mit dem Radius 2.

Meine Idee:

Ich stelle die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x+2y \end{eqnarray*}$ auf für den Umfang.

Die Nebenbedingung wäre dann, $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ also, $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$

Nun fange ich mit der Nebenbedingung an.

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ umgeformt ergibt es $\begin{eqnarray*} g(x,y)=x^2+y^2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda\nabla g(x,y)=\lambda<2x,2y>=<2x\lambda , 2y\lambda > \end{eqnarray*}$

Nun noch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=<2,2> \end{eqnarray*}$

Jetzt stelle ich das LGS auf.

$\begin{eqnarray*} 2x\lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y\lambda =2 \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich für $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x+2y \end{eqnarray*}$ ergibt es nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ für den maximalen Umfang des Rechtecks.

Habe ich die Aufgabe richtig gelöst? verwirrt

verwirrt

25.10.2012, 22:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal so: Die Aufgabenstellung verstehe ich nicht.
Da braucht man doch nichts zu rechnen

verwirrt

. Für mich ist direkt ersichtlich: U=unendlich.

Ignorieren wir also die Fragestellung und konzentrieren wir uns auf deine
Anwendung des Lagrange-Multiplikators, dann kann ich das bestätigen.
Verwirrt bin ich allerdings über dein LGS.
Da fehlt noch eine Zeile mit der Nebenbedingung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

25.10.2012, 22:35

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Equester und danke für deine Antwort. smile

smile

Ich habe mir die Aufgabe selbst ausgedacht um den Umgang mit dem Multiplikator etwas zu üben. Aber wo du es sagst, ich hätte die Aufgabenstellung anders herum wählen sollen indem ich den maximalen Umfang für den Kreis innerhalb des Rechtecks bestimmen sollen. Big Laugh

Big Laugh

Mit dem LGS, dort habe ich folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} 2x\lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y\lambda =2 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst,

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Nun in $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^2}=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\lambda}=4 \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} \lambda=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Nun in $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und ich erhalte $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Meinst du diesen Schritt oder ist der falsch? verwirrt

verwirrt

25.10.2012, 22:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein. Das ist schon richtig.
Nur besteht das Gleichungssystem aus drei Gleichungen (was du ja auch so handhabst).

Man schreibt die dann auch alle direkt untereinander Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x\lambda =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y\lambda =2 \end{eqnarray*}$

Übrigens: Du bist "erwachsen" geworden. Du darfst solche Aufgaben auch gerne
in der HS posten. Das dürfte man in der Schule glaub ich eher nicht behandeln.
Ich schiebs auch gleich mal dort hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

25.10.2012, 22:53

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay, dass mit dem korrekten Aufschrieb wusste ich nicht. smile

smile

Nun müsste dort aber doch als Umfang unendlich rauskommen, wieso kommt es das jetzt aber nicht? verwirrt

verwirrt

25.10.2012, 23:11

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich konnte mit deiner Frage nicht mal etwas anfangen :P.
Dass du aber durch deine Bedingungen nicht das umgesetzt hast, was du wolltest,
ist ohnehin klar. Dafür müssten wir min. x=y=4 erhalten (also der Durchmesser des
Radius als Seitenlänge des Quadrats, dann wäre der Kreis im Rechteck genau eingeschrieben.)

Hast du nicht gerade eine Ebene auf der ein Kreis projieziert wird und wir suchen
das Maximum/Minimum der Projektion? Ganz sicher bin ich mir bei der geometrischen
Beschreibung und deren Aussage allerdings nicht mehr Ups

Ups

.

Wenn du aber ein Anwendungsbeispiel haben willst, so kann ich dir ein sinnvolles liefern
(Aus meinem Aufschrieb).

Bei einem vorgegebenen Umfang u ist ein Rechteck mit maximalen Inhalt gesucht.

Anzeige

25.10.2012, 23:13

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann vergessen wir die Aufgabe. Wäre cool wenn du mir eine Aufgabe aus deinen Unterlagen nennen könntest. smile

smile

Werde mich allerdings erst morgen damit befassen.

25.10.2012, 23:15

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Bei einem vorgegebenen Umfang u ist ein Rechteck mit maximalen Inhalt gesucht.

Ich hätte sie wohl eher kenntlich machen sollen Big Laugh

Big Laugh

.
(Wegen mir kannst du auch u=8cm nehmen, aber in der Uni rechnet man ja nimmer
mit Zahlen^^).

Ist mir recht, dann kann ich auch gleich verschwinden,

Wink

Wink

(P.S.: Ich lasse es mal solange hier, wie ich den Thread betreue oder er fertig ist.
In der HS guck ich nicht und würde dich vergessen Big Laugh

Big Laugh

)

25.10.2012, 23:18

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester

Hast du nicht gerade eine Ebene auf der ein Kreis projieziert wird und wir suchen
das Maximum/Minimum der Projektion? Ganz sicher bin ich mir bei der geometrischen
Beschreibung und deren Aussage allerdings nicht mehr Ups

Ups

.

Meinst du bei f(x,y)=2x+2y -> max unter der Nebenbedingung x²+y²=4 ?
(habe hier auch etwas den Überblick verloren ^^)
Wenn ja, dann wird das der maximale halbe Umfang eines Rechtecks, das einem Kreis einbeschrieben ist. (man kann die Aufgabe übrigens auch mit schultauglicheren Mitteln lösen; ich kenne da den Weg über Polarkoordinaten oder Cauchy-Schwarzscher Ungleichung)

Hangman, du musst hier beachten, dass wenn du die Eckpunktkoordinaten Rechtecks über x und y definierst (und damit die Seitenlängen), dann ja auch automatisch die Nebenbedingung für diese Koordinaten gilt -> das Rechteck ist im Kreis

25.10.2012, 23:23

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok danke. Dafür ists bei mir wohl schon wieder zu lange her
(wobei ichs damals ohnehin nur gerechnet habe und mir die Interpretation egal war :P.).

Kannst du mir dennoch noch sagen, warum es hier nur um den "halben max. Umfang" geht?
Das seh ich grad immer noch nicht Ups

Ups

.

Zitat:

Wenn ja, dann wird das der maximale halbe Umfang eines Rechtecks, das einem Kreis einbeschrieben ist.

25.10.2012, 23:29

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt klingelt es. Big Laugh

Big Laugh

Also ist mein Ergebnis für die Seitenlängen des Rechtecks das sich in dem Kreis befindet? smile

smile

25.10.2012, 23:35

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst ist das ja bloß der Punkt (x,y) auf der Kreislinie, für den x+y (und damit 2x+2y) maximal ist. Das kann ich aber auch als "Arm" eines Rechtecks [also die Seiten sind dann die Verbindungsstrecken von (0,y) nach (x,y) und (x,0) nach (x,y) ] interpretieren, der maximale Länge hat. Dann zeichne ich in die anderen Quadranten die Arme genau so ein (da kommts in den jeweiligen Quadranten ja nur auf |x|+|y|-> max an).
Und es gibt 4 Arme, aber 2x+2y ergibt mir nur die Summe der Länge von zwei Armen.

@chef: genau Augenzwinkern

Augenzwinkern

(habe übrigens ungewollt vorhin hangman geschrieben, sorry)

26.10.2012, 00:20

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für die Erklärung. smile

smile

Wegen hangman macht das eigentlich nichts, du darfst mich aber auch gerne CT nennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

An die Aufgabe von Equester setze ich mich morgen.

N8! Schläfer

Schläfer

26.10.2012, 00:38

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also ist mein Ergebnis für die Seitenlängen des Rechtecks das sich in dem Kreis befindet?

Achso ich weiß nicht, ob du das richtig gemeint hast, aber du hast eben bloß die halben Seitenlängen erhalten (die Seitenlängen sind 2*Wurzel2)

26.10.2012, 13:35

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe die Aufgabe nun durchgerechnet. Frage: Ist das nicht auch eine tpische Schulaufgabe? Sprich eine Gartenfläche soll maximiert werden und drum herum soll ein Zaun der Länge l gelegt werden? Die Aufgabe kommt mir nämlich so bekannt vor aus dem Unterricht. verwirrt

verwirrt

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x\cdot y \end{eqnarray*}$

NB: $\begin{eqnarray*} 2x+2y=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=2x+2y-u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda\nabla g(x,y)=<2,2>=\lambda <2,2>=<2\lambda,2\lambda> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=<y,x> \end{eqnarray*}$

Nun wird gleichgesetzt,

$\begin{eqnarray*} 2\lambda=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda=x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 4\lambda+4\lambda=u \end{eqnarray*}$

Ich bearbeite zuerst $\begin{eqnarray*} 4\lambda+4\lambda=u \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} 8\lambda=u \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist demnach $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{u}{8} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} 2\lambda=y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\lambda=x \end{eqnarray*}$ erhalten wir :

$\begin{eqnarray*} y=\frac{u}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{u}{4} \end{eqnarray*}$

Demnach erhalten wir, $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{u}{4},\frac{u}{4}\right)=x\cdot y=\frac{u}{4}\cdot \frac{u}{4}=\frac{u^2}{16} \end{eqnarray*}$

Müsste denke mal richtig sein? smile

smile

Eine weitere Frage: Ich habe jetzt auch schon öfters gesehen das eine Lagrangefunktion erstmal aufgestellt wird um sollche Extremwertprobleme zu lösen. Gibt es da einen Unterschied zu dem was ich hier mache oder ist beides das selbe? verwirrt

verwirrt

26.10.2012, 14:02

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben deswegen hatte ich diese Aufgabe gewählt, da man sie eben in der Tat
mit der Schulmathematik lösen kann smile

smile

.

Deine Rechnung ist richtig.

Deine Abschlussfrage verstehe ich nicht ganz? Ja, wir lösen hier Extremwertprobleme/Optimierungs~.

26.10.2012, 14:04

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Equester für deine Geduld! Big Laugh

Big Laugh

Ich meine um das Extremwertproblem zu lösen habe ich ja keine Lagrangefunktion aufgestellt sondern einfach den Gradienten von f und der Nebenbedingung gebildet und anschließend gleichgesetzt. Ist das ein Unterschied ob ich erst die Lagrangefunktion aufstelle oder läuft das beides auf das selbe hinaus? verwirrt

verwirrt

26.10.2012, 14:16

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "Lagrange-Funktion"?
Der Begriff findet eher in der Physik als in der Mathematik Verwendung.

Oder sprichst du von der Funktion f als "Lagrange-Funktion"? Diese wirkt ja durch
ihre Gradianten als Funktion mit ein.

26.10.2012, 14:20

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Dort steht: Der konstante Lagrange-Multiplikator $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wird dabei benötigt, weil die beiden Gradienten zwar parallel sein sollen, aber als Vektoren unterschiedlich lang sein können. Um alle genannten Bedingungen zu einer Gleichung zusammenzufassen, ist es nützlich die folgende Lagrangefunktion zu verwenden:

$\begin{eqnarray*} \Lambda(x,y,\lambda) := f(x,y) + \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big) \end{eqnarray*}$

26.10.2012, 14:23

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das war bei uns als Zielfunktion tituliert und bei Lagrangefunktion fällt mir genau
das ein, auf das man verlinkt wird Big Laugh

Big Laugh

.

$\begin{eqnarray*} \Lambda(x,y,\lambda) := F(x,y,\lambda) \end{eqnarray*}$

Vllt wirds dir so klarer, wenn wir die Bezeichnung entwas ändern.
Wenn wir dann von F die Ableitung bilden und diese 0 setzen, machen wir genau
das was wir auch in der Schulanalysis machen, wenn wir nach Extremstellen suchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du hast in dem Beispiel also eigentlich nichts anderes gemacht, als mit den
einzelnen Summanden der Zielfunktion zu arbeiten ohne die Zielfunktion explizit aufzuschreiben.
Fazit: Ja, das ist das gleiche (einfach noch ein Schritt vor unserem Beginn).

26.10.2012, 14:37

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, solangsam klingelt es. smile

smile

Also findet man mit dem LGS quasi die Nullstellen der ersten Ableitung was potentielle Extrema sind?

Warum wird das denn dann garnicht mit der Hesse Determinante geprüft also,

$\begin{eqnarray*} H=\begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{vmatrix}=f_{xx}\cdot f_{yy}-f^2_{xy} \end{eqnarray*}$

Wenn die Determinante $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ ist, nur dann können doch Extrema vorliegen? Wenn die zweite Ableitung (also $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_{yy} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ ist, ist es ein HP und wenn $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ dann TP.

Das überprüft man hier doch garnicht? verwirrt

verwirrt

26.10.2012, 14:58

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Augenzwinkern

.

Die Hesse-Matrix ist ein anderes Vorgehen. Dabei hast du die Kriterien für Extrema
richtig erkannt. Ist die Matrix allerdings semidefinit kannst du keine Aussage treffen.

Dann hilft dir eben Lagrange weiter.
Der ist allerdings auch nicht perfekt. Da hilft dann vllt die Hesse-Matrix weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Können sich also Ergänzen, die beiden Verfahren.

26.10.2012, 15:00

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also ich müsste dann von der Lagrange Funktion die zweiten Ableitungen bilden oder von welcher Funktion?

Mit dem Lagrange Verfahren erhalte ich doch nur mögliche Extrema ob es aber auch wirklich Extrema sind, das weiß man doch dann garnicht oder? verwirrt

verwirrt

26.10.2012, 15:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das ist richtig.
Untersuche deine Nebenbedingung auf Kompaktheit und Stetigkeit.
Dann kannst du den Satz vom Minimum und Maximum anwenden.
Sprich du hast dann ein absolutes Minimum und Maximum und mit
überprüfen der Werte (wer ist der größte, wer der kleineste) hast du die Extrema bestimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Frag mich jetzt aber bitte nicht, wie man sowas auf Kompaktheit untersucht.
Ich bin Physiker. Bei uns hat gereicht "die Aufgabe ist so gestellt" Big Laugh

Big Laugh

.
(Wobei kompakt bedeutet ja abgeschlossen und beschränkt. Das bekommt man
vllt sogar noch hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

26.10.2012, 15:12

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder man kann folgende Matrix untersuchen: http://de.wikipedia.org/wiki/Geränderte_Hesse-Matrix

26.10.2012, 15:24

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich werde es später mal mit der Hesse Determinante durchziehen sonst muss ich mir ja noch mehr merken. Big Laugh

Big Laugh

Ich gehe jetzt erstmal Fifa zocken und melde mich dann wieder später. smile

smile

Schonmal vielen Dank! Tanzen

Tanzen

26.10.2012, 23:01

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe nun mal etwas weiter gerechnet.

Wenn ich mich nicht täusche lautet die Lagrange Funktion $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=xy+2x\lambda+2y\lambda-u\lambda \end{eqnarray*}$

Um zu prüfen ob überhaupt Extrema vorliegen können schaue ich mir die Hesse Matrix an.

$\begin{eqnarray*} H_L(x,y,\lambda)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{yx} & f_{\lambda x} \\ f_{xy} & f_{yy} & f_{\lambda y} \\ f_{x\lambda} & f_{\lambda y} & f_{\lambda\lambda} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich glaube diese Ableitung müsste ich alle bilden? Habe ich die Matrix korrekt aufgestellt? verwirrt

verwirrt

Nun bilde ich die Determinante.

$\begin{eqnarray*} H_L(x,y,\lambda)=\begin{vmatrix} f_{xx} & f_{yx} & f_{\lambda x} \\ f_{xy} & f_{yy} & f_{\lambda y} \\ f_{x\lambda} & f_{\lambda y} & f_{\lambda\lambda} \end{vmatrix}=f_{yx}\cdot f_{\lambda y}\cdot f_{x\lambda}-f^2_{xy}\cdot f_{yy}+f_{\lambda x}\cdot f_{xy}\cdot f_{\lambda y}-f^2_{\lambda y}\cdot f_{xx}+f_{xx}\cdot f_{yy}\cdot f_{\lambda\lambda}-f_{\lambda\lambda}\cdot f^2_{xy} \end{eqnarray*}$

Was eine Arbeit. geschockt

geschockt

Ich hoffe ich habe es richtig gemacht ...

Ist es soweit richtig? smile

smile

26.10.2012, 23:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine mich erinnern zu können, dass es keinen Sinn macht
Lagrange und Hesse-Matrix anzuwenden.
Also ich meine du bestätigst zwar deine Lösung auf hinreichendes Kriterium, aber:

Entweder du benutzt Lagrange und gehst einfach davon aus, dass es sich um
Max./Min. handelt (wie wir Physiker :P) oder überprüfst das auf die angesprochene
Kompaktheit und Stetigkeit (und sparst demnach Zeit als jetzt noch die Hesse-Matrix
auszupacken),

oder aber du nimmst direkt die Hesse-Matrix.

Willst du dennoch die Matrix verwenden:
Dennoch hast du zweimal den gleichen Summanden verwendet:
$\begin{eqnarray*} -f_{\lambda\lambda}\cdot f^2_{xy} \end{eqnarray*}$ und es fehlt demnach auch einer.

Zumal mit dem Lagrange-Multiplikator (wie es Fragen über Fragen schon erwähnte)
die geränderte Hesse-Matrix verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

26.10.2012, 23:42

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann gehe ich einfach mal davon aus das es sich um ein Extrema handelt. Teufel

Teufel

Man muss ja auch nicht päpstlicher als der Papst sein. Big Laugh

Big Laugh

Für Funktionen zweier Variablen ist die Prüfung mit dem hinreichenden Kriterium noch recht einfach, aber bei Funktionen dreier Variable wird das wirklich umständlich.

Vielen Dank für deine Hilfe, habe das Thema nun super verstanden. smile

smile

26.10.2012, 23:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Man soll uns/mir ja nicht nachsagen, wir würden nur Mathe kennen.
Nein auch Latein/Deutsch gehört dazu -> ein Extremum, viele Extrema Big Laugh

Big Laugh

.

Gerne,
Wink

Wink

26.10.2012, 23:55

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie tut das weh:

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Ok, dann gehe ich einfach mal davon aus das es sich um ein Extrema handelt.
...

Das Extremum
Die Extrema

mY+

26.10.2012, 23:57

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann noch wer anderes Deutsch/Latein Big Laugh

Big Laugh

.

26.10.2012, 23:59

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, wieder was gelernt! Big Laugh

Big Laugh

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »