Identität beweisen

26.10.2012, 21:56

akamanston

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Identität beweisen

Hi, hab letztens eine Aufgabe erhalten, die ich nun allmählich lösen muss. Aber ich hab eigentlich keine Ahnung was von mir verlangt wird.
Ich soll folgende Identität(EN) beweisen für n,k,l element N0 und k<=n

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ k \\ \end{pmatrix}+ \cdot \cdot \cdot + \begin{pmatrix} n+l \\ k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+l+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir schon bisschen was zum Thema Multinomialsatz und Binomialkoeeffizient durchgelsen aber ich bin einfach noch nicht fähig sowas zu verstehen. Muss ich das anahnd vollständiger Induktion beweisen? Ich fühl mich wie ein Baby das gerade lernt zu gehen. Jemand muss mich festhalten und mitgehen.^^

26.10.2012, 22:51

Sly

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Versuch es mal mit Induktion nach l. Behandle n und k dabei wie Konstanten.

26.10.2012, 23:07

akamanston

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Zitat:

Original von Sly
Versuch es mal mit Induktion nach l. Behandle n und k dabei wie Konstanten.

was meinst du mit Induktion nach l?

26.10.2012, 23:15

Sly

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Zitat:

Muss ich das anhand vollständiger Induktion beweisen?

Zitat:

Versuch es mal mit Induktion nach l

Du sollst einen Induktionsbeweis nach der Variablen l führen. D.h. setze l=1 ein als Induktionsanfang. Dann annehmen, dass die Aussage für ein fest gewähltes l gilt. Als Induktionsschritt versuchen, daraus die Gleichung für l+1 zu folgern.

27.10.2012, 01:06

akamanston

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ach ich komm damit nicht klar, ich hab jetzt irgendwas umgeformt, weil ich mir dachte ich komme dann besser zurecht. und das mit l=1 habe ich auch gemacht. was aber nun? mir fehlt der mut weiterzumachen^^

[attach]26350[/attach]

27.10.2012, 08:19

Leopold

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Du brauchst das nicht auf die Definition der Binomialkoeffizienten herunterzubrechen. Es genügt die bekannte Identität des Pascalschen Dreiecks:

$\begin{eqnarray*} {n \choose j} + {n \choose {j-1}} = {{n+1} \choose j} \end{eqnarray*}$

Bringe das Glied mit dem negativen Vorzeichen auf die andere Seite und gehe schrittweise vor:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{n \choose {k+1}} + {n \choose k}}_{{{n+1} \choose {k+1}}} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{{{n+1} \choose {k+1}} + {{n+1} \choose k}}_{{{n+2} \choose {k+1}}} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Natürlich steckt hinter dem schrittweisen Vorgehen eine Induktion. Du kannst das also formalisieren.

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27.10.2012, 09:50

Mystic

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Ich denke, man kann das auch rein kombinatorisch lösen, indem man die Elemente einer Menge mit n+l+1 Elementen mit 1 bis n+l+1 durchnummeriert und jeder Teilmenge T mit k+1 Elementen als "Höhe" h(T) die höchste Nummer zuordnet, welche in ihr vorkommt... Dann zählen beide Seiten der Gleichung die Anzahl der (k+1)-elementigen Teilmengen T mit h(T) >n... Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2012, 13:42

akamanston

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Zitat:

Original von Leopold

Bringe das Glied mit dem negativen Vorzeichen auf die andere Seite und gehe schrittweise vor:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{n \choose {k+1}} + {n \choose k}}_{{{n+1} \choose {k+1}}} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

ich verstehe nicht wie du auf das glied (n+2 , k) kommst? woher weiß ich denn wie ich das ganze umforme? ich kenne die rechenregeln nicht. ich schaue immer ins buch und suche "meinen fall" und hoffe darauf, das mein fall dann in anderer schreibweise dasteht. wie geht das denn einfacher?

27.10.2012, 13:57

Leopold

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Oh! Da weiß offenbar jemand nicht, wie man Pünktchen in der Mathematik zu lesen hat. Ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 \end{eqnarray*}$

bedeutet

für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 = 5 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30 \end{eqnarray*}$

Und so weiter.

27.10.2012, 14:02

akamanston

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ähm ich weiß jetzt nicht so recht,
mir geht es in erster linie um das glied (n+2 , k) . das ist doch flasch.
bei mir steht erstmal das hier da

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} + \cdot \cdot \cdot + \begin{pmatrix} n+l \\ k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+l+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 14:09

Leopold

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So versteht das kein Mensch. Denn die Rolle der Pünktchen ist völlig verdunkelt! Pünktchen darf man erst dann setzen, wenn der Aufbau der Summenglieder jedem "gerecht und billig denkenden" Menschen klar ist. Es ist nicht gerade sinnvoll, die Pünktchen hinter ein Glied zu schreiben, das aus dem Rahmen fällt.

27.10.2012, 14:23

akamanston

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achso, moment. jetzt habe ich etwas erkannt das (n , k) gehört noch nicht zu der summe. zu dem ersten glied addierst du das negative der anderen seite. das glied (n+2 , k) hast du wohl nur hingeschrieben um mir zu verdeutlichen wie diese summe fortgeführt wird.

edit:
hier reißt du doch die summe alber selbst auseinander

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{{{n+1} \choose {k+1}} + {{n+1} \choose k}}_{{{n+2} \choose {k+1}}} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 14:26

Leopold

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Das letzte stimmt, das erste verstehe ich nicht: Wieso sollte $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ , wenn man mit der Rechnung anfängt, nicht zur Summe gehören? verwirrt

verwirrt

27.10.2012, 14:30

Leopold

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Zitat:

Original von akamanston
edit:
hier reißt du doch die summe alber selbst auseinander

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{{{n+1} \choose {k+1}} + {{n+1} \choose k}}_{{{n+2} \choose {k+1}}} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

Ich bin eigentlich ein friedfertiger Mensch und reiße nichts auseinander. Ganz im Gegenteil: Ich führe zusammen, was zusammengehört (nach W. Brandt).

27.10.2012, 14:33

akamanston

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noch mal zurück zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+2 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} + \cdot \cdot \cdot + \begin{pmatrix} n+l \\ k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+l+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

du hast darauf geantwortet:
So versteht das kein Mensch. Denn die Rolle der Pünktchen ist völlig verdunkelt! Pünktchen darf man erst dann setzen, wenn der Aufbau der Summenglieder jedem "gerecht und billig denkenden" Menschen klar ist. Es ist nicht gerade sinnvoll, die Pünktchen hinter ein Glied zu schreiben, das aus dem Rahmen fällt.

aber meine umformung ist doch nicht anderes als deins? bei mir fehlt einfach dieses eine glied (n+2 , k). mehr nicht. ic hweiß jetzt gar niht was du mit den punkten meinst. ich habe die ganz normal stehen gelassen.

edit: ok allmählich versteh ich das ganze. (n+2 , k) muss dastehen um zu sehen um welche summe es sich handel, (n+1 , k) ist jetzt weg weil wir das in den anderen koeffizienten eingearbeitet haben. geht die summe jetzt erst bei (n+2 , k) los?

27.10.2012, 14:38

Leopold

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So müßte das richtig heißen:

$\begin{eqnarray*} {{n+2} \choose {k+1}} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} + {{n+4} \choose k} + {{n+5} \choose k} + {{n+6} \choose k} + {{n+7} \choose k} + {{n+8} \choose k} + {{n+9} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

Wobei ich zugeben will, daß ich jetzt etwas übertrieben habe. (Aber vielleicht hilft ja die "Holzhammermethode" beim Verständnis.)

27.10.2012, 14:42

akamanston

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Zitat:

Original von Leopold
So müßte das richtig heißen:

$\begin{eqnarray*} {{n+2} \choose {k+1}} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} + {{n+4} \choose k} + {{n+5} \choose k} + {{n+6} \choose k} + {{n+7} \choose k} + {{n+8} \choose k} + {{n+9} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

Wobei ich zugeben will, daß ich jetzt etwas übertrieben habe. (Aber vielleicht hilft ja die "Holzhammermethode" beim Verständnis.)

die methode bringt leider nich viel, du meinst ich hab dort ein problem, wo aber keines ist. mir ist schon klar wie der fortläuft, aber am ananfg sieht man doch das etwas unhomogenes, sag ich mal, wo beginnt nun die summe bei (n+2 k) oder bei (n+2 , k+1) ? was bringt mir das, dass ich das n+1... zusammenfasse...

27.10.2012, 14:45

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \underbrace{\color{red} {{n+2} \choose {k+1}} + \color{blue} {{n+2} \choose k}}_{\text{zusammenfassen!}} \color{blue} + {{n+3} \choose k} + {{n+4} \choose k} + {{n+5} \choose k} + {{n+6} \choose k} + {{n+7} \choose k} + {{n+8} \choose k} + {{n+9} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 14:47

akamanston

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ok die summe geht bei n+2 , k los Big Laugh

Big Laugh

naja jetzt geht die aufgabe aber erst los. muss ich nun aus n -->n+1 machen?
wie weit soll ich denn das jetzt machen^^
.....formaliesieren.....

27.10.2012, 14:50

Leopold

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Mußt du nicht!

Du mußt nur das Prinzip erklären: Der "Fremdkörper" frißt immer das erste Glied der Familie und wird zu einem neuen Fremdkörper, bis auch das letzte Glied gefressen ist und nur noch ein Fremdkörper verbleibt. Friedlich geht es also in der Tat nicht zu ...

Was bleibt denn zum Schluß des großen Fraßes noch übrig?

27.10.2012, 14:52

akamanston

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es bleibt (n+l , k) über. aber bei meinen bisherigen induktionen ging ich anders voran. wo ist das n+1

edit: aber ein glied vorher bleibt doch auch über (glied) + (n+l , k)

27.10.2012, 14:54

Leopold

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Nein, das wird ja gefressen! Schau dir den vorletzten Schritt an!

27.10.2012, 14:56

akamanston

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ich habe keinen blassen schimmer. was weiß ich was überbleib...

bleibt wohl der fremdkörper übrig

27.10.2012, 15:02

Leopold

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Machen wir es einmal konkret mit $\begin{eqnarray*} l=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{n \choose {k+1}} + {n \choose k}}_{{{n+1} \choose {k+1}}} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{{{n+1} \choose {k+1}} + {{n+1} \choose k}}_{{{n+2} \choose {k+1}}} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{{{n+2} \choose {k+1}} + {{n+2} \choose k}}_{{{n+3} \choose {k+1}}} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {{n+3} \choose {k+1}} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {{n+4} \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Und wie geht das, wenn $\begin{eqnarray*} l=4 \end{eqnarray*}$ ist oder $\begin{eqnarray*} l=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=153 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=4381 \end{eqnarray*}$ , oder eben für $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2012, 15:06

akamanston

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und wen ich das jetzt gleichsetze mit dem glied auf der anderen seite, würe gleichheit entstehen.... das klingt doch schon mal gut. aberwas hat das mit induktion zu tun? ich habe meine bisherigen induktionsaufgabe immer ganz anders gestaltet als diese hier.

27.10.2012, 15:15

Leopold

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Was willst du denn hier "gleichsetzen"? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Hier ist ein Term umzuformen, keine Gleichung zu lösen.

Du kannst allerdings im Ergebnis das erste Glied wieder auf die andere Seite bringen. Wir hatten:

$\begin{eqnarray*} {n \choose {k+1}} + {n \choose k} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} = {{n+4} \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt das erste Glied auf die andere Seite:

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} = {{n+4} \choose {k+1}} - {n \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Und damit ist die Behauptung für $\begin{eqnarray*} l=3 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Für $\begin{eqnarray*} l=4 \end{eqnarray*}$ formt man aber nach demselben Prinzip um, ebenso für $\begin{eqnarray*} l=5485 \end{eqnarray*}$ . Indukition ("Fortführung"): Also gilt die Behauptung für beliebige $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du das formalisiert aufschreiben willst, so führe vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ aus: Induktionsverankerung für $\begin{eqnarray*} l=1 \end{eqnarray*}$ , dann Schluß $\begin{eqnarray*} l \mapsto l+1 \end{eqnarray*}$ .
Dabei wird im Prinzip der Freßvorgang für beliebiges $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ausgeführt.

27.10.2012, 15:22

akamanston

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das ist lustig, jetzt schreibst du wieder die ganze gleichung hin, aber im post vorher steht nur deine eine seite da, und das

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} n+l+1 \\ k+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unterschlägst du die ganze aufgabe über, um im letzten beitrag wieder alles zu schreiben

27.10.2012, 15:32

Leopold

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Zitat:

Original von akamanston
aber im post vorher steht nur deine eine seite da

Das ist nicht die Wahrheit! Das stand vorher da:

Zitat:

Original von Leopold
Machen wir es einmal konkret mit $\begin{eqnarray*} l=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{n \choose {k+1}} + {n \choose k}}_{{{n+1} \choose {k+1}}} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{yellow}= \underbrace{{{n+1} \choose {k+1}} + {{n+1} \choose k}}_{{{n+2} \choose {k+1}}} + {{n+2} \choose k} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{yellow} = \underbrace{{{n+2} \choose {k+1}} + {{n+2} \choose k}}_{{{n+3} \choose {k+1}}} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{yellow} = {{n+3} \choose {k+1}} + {{n+3} \choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = {{n+4} \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Und wie geht das, wenn $\begin{eqnarray*} l=4 \end{eqnarray*}$ ist oder $\begin{eqnarray*} l=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=153 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=4381 \end{eqnarray*}$ , oder eben für $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2012, 15:34

akamanston

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ah, ok sorry. tut mir leid. ich versuche das mal zu formalisieren, hehe Big Laugh

Big Laugh

wieso muss ich nicht n --> n+1? woher weiß man das man mit l arbeiten muss?

27.10.2012, 15:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir den Fall $\begin{eqnarray*} l=3 \end{eqnarray*}$ ausführlich vorgeführt. Daß es mit $\begin{eqnarray*} l=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} l=4021 \end{eqnarray*}$ genau so geht, zeigt doch gerade, daß $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ die Variable ist. Die Größen $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ sind hier als konstant anzusehen, also Parameter.

27.10.2012, 15:45

akamanston

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jaa ok, aber wie erkenne ich das denn vorher? ich war es bis dahin immer anders gewohnt

27.10.2012, 15:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von akamanston
jaa ok, aber wie erkenne ich das denn vorher?

Für Kreativität gibt es keine Regel. Sonst wäre es ja keine Kreativität.
Man merkt es eben beim Probieren der Fälle, daß es auf die Änderung von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ankommt und nicht auf die von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .
Aber ich will ja gar nicht ausschließen, daß auch ein Induktionsbeweis über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ möglich wäre. Nur hätte ich wirklich keine Lust, den zu führen ...

27.10.2012, 15:59

akamanston

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hm und schon steck ich wieder in ner sackgasse.
wie soll ich denn wissen wie es jetzt weitergeht.
[attach]26369[/attach]

27.10.2012, 16:11

Leopold

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Auch das versteht man wieder nicht! Mathematik besteht nicht aus einem Aneinanderreihen mathematischer Zeichen, sondern aus den Verbindungen dieser Zeichen durch logische Verknüpfungen. Dafür verwendet man (im deutschen Sprachraum) die deutsche Sprache.
Ich gehe einmal davon aus, daß du die Induktionsverankerung bereits vollzogen hast. Dann geht es so weiter:

INDUKTIONSSCHRITT

Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} {n \choose {k+1}} + {n \choose k} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} = {{n+l+1} \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} {n \choose {k+1}} + {n \choose k} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k} + {{n+l+1} \choose k} = {{n+l+2} \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt verwende zum Nachweis der Induktionsbehauptung die Induktionsannahme. Man nimmt ja damit gerade an, daß alle vorigen bereits aufgefressen wurden. Und jetzt schau zu, daß auch das nächste gefressen wird.

27.10.2012, 16:22

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Man nimmt ja damit gerade an, daß alle vorigen bereits aufgefressen wurden. Und jetzt schau zu, daß auch das nächste gefressen wird.

Ja, fressen oder gefressen werden ist hier die Devise, gerade so wie in der Natur... So hätte ich das auch erklärt... Freude

Freude

27.10.2012, 16:26

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt verwende zum Nachweis der Induktionsbehauptung die Induktionsannahme.

ich möchte nicht ärgern, aber auch das lief in meinen beispielen vorher "einfacher" ab=)
ich habe die induktionsvoraussetzung(=induktionsannahme) in die behauptung eingesetzt. aber hier geht das ja nicht?!?!?!

27.10.2012, 16:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von akamanston
ich habe die induktionsvoraussetzung(=induktionsannahme) in die behauptung eingesetzt. aber hier geht das ja nicht?!?!?!

Doch. Schöner könnte es nicht sein ...

$\begin{eqnarray*} \underbrace{{n \choose {k+1}} + {n \choose k} + {{n+1} \choose k} + {{n+2} \choose k} + \ldots + {{n+l} \choose k}} + {{n+l+1} \choose k} = \text{???} \end{eqnarray*}$

Verwende die Induktionsannahme und forme weiter um, bis du die herbeizuführende rechte Seite erreicht hast.

27.10.2012, 17:37

akamanston

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also ich hoffe das stimmt vorerst

$\begin{eqnarray*} {n+l+1 \choose {k+1}}+{{n+l+1} \choose k} = \end{eqnarray*}$

NAJA undj etzt kommt das thema umformen....

EDIT:
MEIN vorschlag wäre^^ : $\begin{eqnarray*} ={n+l+2 \choose {k+1}} \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 17:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar. Das ist doch wieder die Regel vom Pascalschen Dreieck.

Und das war's.

27.10.2012, 17:45

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

muss bei v. induktion denn nicht etwas ähnliches rauskommen? was hat das ergebnis nun zu bedeuten? was hab ich jetzt gemacht?!?!^^

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