Beweis mit Indexmenge

28.10.2012, 02:24	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Indexmenge Meine Frage: Hallo, ich komme mit diesem Beweis nicht weiter: Sei für jedes $\begin{eqnarray} i \in\ I \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} M_i \subseteq D \end{eqnarray}$ gegeben. Dann definieren die $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray} I \rightarrow{P(D)} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} i \rightarrow M_i \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: A $\begin{eqnarray} \times \bigcap_{i\in\mathbb I} M_i=\bigcap_{i\in\mathbb I} (A \times M_i) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Normalerweise könnte ich ja beim Kreuzprodukt so ansetzen: $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \in\ A\times \bigcap_{i\in\mathbb I} M_i \Leftrightarrow x_1 \in\ A \wedge x_2 \in\ \bigcap_{i\in\mathbb I} M_i \end{eqnarray}$ Aber wie geht es weiter? Wie muss ich die Indexmenge behandeln? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. =)
28.10.2012, 09:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ein Tip vorweg. Wähle in solchen Aufgaben suggestive Bezeichnungen. So würde ich Elemente von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit dem Buchstaben $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und Elemente der $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ oder ähnlich bezeichnen, $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ könnte man dann für das Paar $\begin{eqnarray} x = (a,m) \end{eqnarray}$ nehmen. Das muß man zwar nicht tun, aber es hilft beim Lesen und Verstehen. Jetzt zur Aufgabe selbst. Ich führe die Bezeichnung $\begin{eqnarray} M = \bigcap_i M_i \end{eqnarray}$ ein, wobei $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ durchlaufen soll. Mache dir klar, daß der Mengenschnitt über alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ einem logischen "für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ " entspricht, was man auch als ein kumuliertes logisches "und" ansehen kann. Es ist also dasselbe, ob ich $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ oder ob ich $\begin{eqnarray} \mbox{für alle} \ i \ \mbox{gilt:} \ \ m \in M_i \end{eqnarray}$ sage. In etwas fragwürdiger Deutung könnte man auch $\begin{eqnarray} m \in M_{i_0} \ \ \text{und} \ \ m \in M_{i_1} \ \ \text{und} \ \ M \in M_{i_2} \ \ \text{und} \ \ \ldots \end{eqnarray}$ schreiben. Das Letzte ist deshalb fragwürdig, weil $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ natürlich nicht abzählbar zu sein braucht, wie es das Aneinanderreihen der Aussagen suggeriert. In der Aufgabe geht es letztlich darum, wo das "für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ " überall stehen darf.
28.10.2012, 12:28	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Indexmenge Danke für deine Antwort! Ich glaube, das hilft mir weiter. Verstehe ich $\begin{eqnarray} M = \bigcap_i M_i \end{eqnarray}$ richtig, wenn ich sage, dass man alle m sucht, die in jedem $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ enthalten sind, wenn $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ durchläuft? Also z.B. die m, die in $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ usw. enthalten sind? Ich hab meinen Ansatz mal erweitert: $\begin{eqnarray} x = (a,m) \in\ A \times \bigcap_{i \in\mathbb I} M_i \Leftrightarrow a\in\ A \wedge m \in\ \bigcap_{i\in\mathbb I} M_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \in\ A \wedge m \in\ M_i \forall i \in\ I \Leftrightarrow x \in\ (A \times M_i) \forall i \in\ I \Leftrightarrow \bigcap_{i \in\mathbb I} (A \times M_i) \end{eqnarray}$ ? Wäre das dann der Beweis?
28.10.2012, 20:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist der Beweis. (Die "halbformale" Sprache gefällt mir jedoch nicht. Ich bin der Ansicht, daß man, wenn man logische Symbole verwendet, sie auch korrekt verwenden muß. Ansonsten besser die "mathematische Umgangssprache".)
28.10.2012, 21:43	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Indexmenge Super! Vielen Dank! Du hast mir wirklich sehr geholfen! Kannst du mir vielleich noch sagen, wie ich den Beweis formal verbessern kann? Ich studiere erst seit 2 Wochen Mathe und verstehe daher den Unterschied zwischen "halbformal" und "mathematischer Umgangssprache" nicht. Danke im Voraus.

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