Topologie: Satz von Tietze

06.02.2007, 23:43

VLenz

Topologie: Satz von Tietze

Hallo,

ich hätte zwei Fragen zum Satz von Tieze.

(Tieze: Ein topologischer Raum X ist genau dann ein $\begin{eqnarray*} T_\mathrm{4} \end{eqnarray*}$ - Raum, wenn sich jede auf einer abgeschlossenen Teilmenge von X definierte stetige Funktion auf ganz X stetig fortsetzen lässt.)

Frage:

1. Warum muss die Teilmenge abgeschlossen sein?

2. Wie sieht ein Gegenbeispiel aus, bei der die Teilmenge nicht abgeschlossen ist.

Danke und viele Grüße
VLenz

06.02.2007, 23:54

Abakus

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RE: Topologie: Satz von Tieze
Erstmal zurückgefragt, was willst du unter einem $\begin{eqnarray*} T_\mathrm{4} \end{eqnarray*}$ - Raum verstehen ? (es gibt verschiedene Auffassungen hier, daher immer dabeisagen, von was ausgegangen wird)

Der Mann heißt übrigens Tietze.

Grüße Abakus smile

EDIT: checke mal folgendes Beispiel durch: $\begin{eqnarray*} X := [0,1] \text{ und } f : [0, 1[ \rightarrow [0, \infty[, x \mapsto \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2007, 12:41

VLenz

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RE: Topologie: Satz von Tieze
:-( ich war schon etwas müde gestern.

mit $\begin{eqnarray*} T_\mathrm{4} \end{eqnarray*}$ - Raum meinte ich:

wenn es es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen disjunkte Umgebungen gibt.

(aus dem Buch: "Mengentheoretische Topologie" B.v. Querenburg)

Viele Grüße
VLenz

07.02.2007, 12:53

Abakus

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RE: Topologie: Satz von Tieze

Zitat:

Original von VLenz
mit $\begin{eqnarray*} T_\mathrm{4} \end{eqnarray*}$ - Raum meinte ich:

wenn es es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen disjunkte Umgebungen gibt.

(aus dem Buch: "Mengentheoretische Topologie" B.v. Querenburg)

OK, dann ist es klar. Einige nehmen hier $\begin{eqnarray*} T_\mathrm{2} \end{eqnarray*}$ dazu oder eben nicht und nie ist klar, was nun was ist verwirrt

.

Grüße Abakus smile

07.02.2007, 23:04

VLenz

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RE: Topologie: Satz von Tieze
traurig

leider ist es mir noch nicht ganz klar. Hab noch ein paar schwierigkeiten mit der Topologie.

Zu Frage 1: Mir ist klar, das die Teilmengen nach der Definition abgeschlossen sein müssen, aber was steckt dahinter?

Zu Frage 2: Geht als Gegenbeispiel auch die Funktion x = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

A = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \ {0} ,

f(x) = $\begin{eqnarray*} {\frac 1x} \end{eqnarray*}$ wenn ja, warum?

Vielen Dank und viele Grüße
VLenz

08.02.2007, 00:17

Abakus

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RE: Topologie: Satz von Tieze

Zitat:

Original von VLenz
Zu Frage 1: Mir ist klar, das die Teilmengen nach der Definition abgeschlossen sein müssen, aber was steckt dahinter?

Du könntest dir den Beweis anschauen. Was ist dir hier genau unklar ?

Zitat:

Zu Frage 2: Geht als Gegenbeispiel auch die Funktion x = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

A = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ \ {0} ,

f(x) = $\begin{eqnarray*} {\frac 1x} \end{eqnarray*}$ wenn ja, warum?

Ja, die geht. Aus der Analysis weißt du, dass f nicht stetig fortsetzbar an der Stelle 0 ist. Die einzelnen Voraussetzungen kannst du selbst abchecken.

Grüße Abakus smile

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