Exponentialverteilte Zufallsgröße und Erwartungswert

29.10.2012, 12:56

mathtester

Exponentialverteilte Zufallsgröße und Erwartungswert

Meine Frage:
Für die Heimfahrt nehmen die zwölf Vereinsmitglieder den Bus. Der Fahrer ist froh, endlich
einmal wieder fachsimpeln zu können, und erzählt: ?Busse wie dieser hier sind sehr verbreitet;
es ist bekannt, dass 90 % dieses Typs eine Lebensdauer von mehr als 10 Jahren haben.? Die
Ausflügler beruhigt diese Aussage nicht sehr, denn sie wissen, dass die Lebensdauer solcher
Busse als exponentialverteilte Zufallsgröße aufzufassen ist.
a. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Bustyps.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein zufällig ausgewählter Bus dieses Typs
mindestens fünf Jahre intakt?

Meine Ideen:
Habt ihr Vorschläge?

29.10.2012, 13:09

Nubler

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wie schaut deine dichtefunktion aus?
wie hängen dichtefunktion und wahrscheinlichkeit zusammen?

29.10.2012, 13:12

mathtester

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Erwartungswert
Mehr Angaben habe ich leider nicht

29.10.2012, 13:27

Nubler

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der dir gewählten überschrift nach liegt exponentialverteilung vor

was ist die dichte der exponentialverteilung?

29.10.2012, 13:28

Leopold

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RE: Erwartungswert

Zitat:

Original von mathtester
Mehr Angaben habe ich leider nicht

Doch! Die entscheidende:

Zitat:

Original von mathtester
Meine Frage:
denn sie wissen, dass die Lebensdauer solcher
Busse als exponentialverteilte Zufallsgröße aufzufassen ist.

29.10.2012, 13:29

mathtester

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Meine Frage:
Für die Heimfahrt nehmen die zwölf Vereinsmitglieder den Bus. Der Fahrer ist froh, endlich einmal wieder fachsimpeln zu können, und erzählt: ?Busse wie dieser hier sind sehr verbreitet; es ist bekannt, dass 90 % dieses Typs eine Lebensdauer von mehr als 10 Jahren haben.? Die Ausflügler beruhigt diese Aussage nicht sehr, denn sie wissen, dass die Lebensdauer solcher Busse als exponentialverteilte Zufallsgröße aufzufassen ist.

a. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Bustyps.

b. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein zufällig ausgewählter Bus dieses Typs
mindestens fünf Jahre intakt?

Mehr als diese Angaben habe ich leider nicht!

29.10.2012, 13:32

mathtester

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Das heißt jetzt? Big Laugh

29.10.2012, 13:40

Nubler

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das die größe bereits seit dem startpost exponentialverteilt ist.
was ist die dichte der exponentialverteilung?

30.10.2012, 14:33

Nubler

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da hier anscheinend keine antwort mehr zu erwarten ist, hier mal kurz die lösung.

die dichte ist stets nichtnegativ.
da wir zudem nur nichtnegative zeitpunkte betrachten (nur gegenwart und zukunft interessieren)
folgt daraus, dass für f gilt:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$

da exponentialverteilung vorliegt, muss zudem gelten:

$\begin{eqnarray*} f(t) \propto e^{-\mu t} \end{eqnarray*}$
setzt man nun eine allgemeine proportionalkonstante $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist dies äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} f(t) = a\cdot e^{-\mu t} \end{eqnarray*}$
nun betrachten wir die wahrscheinlichkeit:

die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass dass ereignis X (das ereignis X ist hier, dass der bus kaputt geht) im intervall $\begin{eqnarray*} \left[t_1;t_2\right] \end{eqnarray*}$ liegt ist definiert zu $\begin{eqnarray*} p\left(X \in \left[t_1;t_2\right]\right)=\int\limits_{t_1}^{t_2} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$ .

nun weiss man aber auch, dass der bus irgendwann in der zukunft kaputtgeht, also muss muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t\geq 0} \! f(t) \, dt \stackrel{!}{=}1 \end{eqnarray*}$ (normierung)
in unseren fall bedeutet dies:
$\begin{eqnarray*} 1 \stackrel{!}{=} \int \limits_{t\geq 0} \! f(t) \, dt = \int \limits_{t\geq 0} \! a\cdot e^{-\mu t} \, dt= a \int \limits_{t\geq 0} \! e^{-\mu t} \, dt = \lim\limits_{t_2 \rightarrow \infty } \frac {a} {-\mu} \left[ e^{-\mu t} \right] _0 ^{t_2} =\frac {a} {-\mu} \left[0-1\right]=\frac {a} {\mu} \end{eqnarray*}$
dies bedeutet gerade, dass der proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray*} a=\mu \end{eqnarray*}$ ist.

für unsere dichte f bedeutet dies:
$\begin{eqnarray*} f(t)=\mu e^{-\mu t} \end{eqnarray*}$

der erwartungswert ist das erste moment unserer verteilung:
$\begin{eqnarray*} E\left( X \right) = \int\limits_{t>0} \! t\cdot f_{\mu}(t)\, dt \end{eqnarray*}$
dem integral is es egal, ob ich den linken endpunkt mitnehm oder nicht.
eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} E\left( X \right) = \int\limits_{t>0} \! t\cdot \mu e^{-\mu t} \, dt \end{eqnarray*}$
dies kann man nun in einigen schritten hochintegrieren, oder man überlegt sich folgendes:
zuerst ist ja des $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nichts weiter als ein konstanter faktor, den man vors integral ziehen kann:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{t>0} \! t\cdot \mu e^{-\mu t} \, dt=\mu \int\limits_{t>0} \! t\cdot e^{-\mu t} \, dt \end{eqnarray*}$

nun kann man den integranten $\begin{eqnarray*} te^{-\mu t} \end{eqnarray*}$ betrachten und stellt fest, dass er eigentlich bis auf vorzeichen die ableitung nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} e^{-\mu t} \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} te^{-\mu t}=-\frac{d}{d \mu} e^{-\mu t} \end{eqnarray*}$

eingesetzt und auch das - vors integral gezogen wird dies zu:
$\begin{eqnarray*} \mu \int\limits_{t>0} \! t\cdot e^{-\mu t} \, dt = - \mu \int\limits_{t>0} \! \frac{d}{d \mu} e^{-\mu t}\, dt \end{eqnarray*}$
nun darf man hier auch die ableitung vors integral ziehen:
$\begin{eqnarray*} - \mu \int\limits_{t>0} \! \frac{d}{d \mu} e^{-\mu t} \, dt =- \mu \frac{d}{d \mu} \int\limits_{t>0} \! e^{-\mu t} \, dt \end{eqnarray*}$

den wert dieses integral haben wir aber bereits oben berechnet: er ist $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\mu} \end{eqnarray*}$ abgeleitet gibt das $\begin{eqnarray*} -\frac {1}{\mu^2} \end{eqnarray*}$ .
nun noch die vorfaktoren des integrals $\begin{eqnarray*} (-\mu ) \end{eqnarray*}$ draufmultiplizieren und man hat für den erwartungswert E einer zum parameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ exponentialverteilten zufallsvariable den wert $\begin{eqnarray*} E_{\mu}(X)=\frac{1}{\mu} \end{eqnarray*}$

nun musst du nur noch konkret deinen parameter berechnen:

du weisst, dass nach einer bestimmten zeitspanne $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ (hier zehn jahre) ein bestimmter prozentsatz $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ (hier: 90%) noch vorhanden sind.
du hast also $\begin{eqnarray*} p(t>t_1)=p_1 \end{eqnarray*}$ gegeben.
nun musst dies also nur noch einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} p_1=p(t>t_1)=\int\limits_{t>t_1} \! f_{\mu}(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\mu \int\limits_{t>t_1} \! e^{-\mu t} \, dt = -\lim\limits_{t_2 \rightarrow \infty } \left[ e^{-\mu t} \right]_{t_1}^{t_2}=-\left(0-e^{-\mu t_1}\right) = e^{-\mu t_1} \end{eqnarray*}$

es gilt also:
$\begin{eqnarray*} p_1= e^{-\mu t_1} \end{eqnarray*}$ oder nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ umgestellt: $\begin{eqnarray*} \mu=-\frac{\ln p_1}{t_1} \end{eqnarray*}$

die b is analog

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