Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent

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maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Die Aufgabe die ich lösen muss, lautet:
Sei . Zeigen Sie, dass für eine Abbildung die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) f ist injektiv
(ii) Es gibt eine Abbildung mit
(iii) Für alle Mengen C und Abbildungen ,gilt: Aus folgt .

Meine Ideen:
Die ersten beiden Aufgaben habe ich.
Bei der dritten weiß ich: wenn und bzw.gilt, das dann ist.
Aber wie macht man jetzt weiter?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Bei der dritten weiß ich: wenn und bzw.gilt, das dann ist.

Nein. Die Kompositionen und bilden von nach ab.

Was hast du denn bis jetzt gezeigt? Dass (i) und (ii) äquivalent sind? Dann könntest du ja jetzt zeigen: Aus (i) folgt (iii).

Voraussetzung ist also, dass f injektiv ist. Nun haben wir zwei Abbildungen



gegeben. Wenn nun



ist, warum muss dann sein? Das ist ein Einzeiler.
 
 
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Nein. Die Kompositionen und bilden von nach ab.

Hast recht, habe ich verwechselt.

Also, da ich habe bei i gezeigt das f injektiv ist, dann ist bei iii auch f injektiv. Aber man kann ja nicht schreiben das sich das "wegkürzt" auf beiden Seiten.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Also, da ich habe bei i gezeigt das f injektiv ist, dann ist bei iii auch f injektiv.

Du hast nicht gezeigt, dass f injektiv ist. f ist als injektiv vorgegeben, das ist Aussage (i). Und wenn (i) gilt, f also injektiv ist, DANN muss auch die Aussage (iii) gelten. Das sollst du beweisen.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ich habe bei i bewiesen das f injektiv und dann bei ii gezeigt, wenn f injektiv ist, ist g surjektiv.
Das ich iii beweisen soll ist mir klar und auch, dass das was in der Aufgabe steht das gleiche ist. Ich weiß nur nicht, wie man das dann als Beweis aufschreiben soll.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ich habe bei i bewiesen das f injektiv und dann bei ii gezeigt, wenn f injektiv ist, ist g surjektiv.

...

Wie soll man bei (i) beweisen, dass f injektiv ist? f ist doch schon als injektiv vorausgesetzt. Da gibt es nichts zu beweisen. Vielleicht drückst du dich auch nur völlig unklar aus, keine Ahnung.

Ich hab auch keine Ahnung, was das jetzt mit Surjektivität soll. Von (i) nach (ii) soll gezeigt werden, dass, wenn f injektiv ist, es eine Abbildung g derart gibt, dass die Komposition die identische Abbildung ist. Die ist zwar nach Definition auch surjektiv, aber das allein zeichnet ja noch nicht die identische Abbildung aus.

Zitat:
Original von maho12
Das ich iii beweisen soll ist mir klar und auch, dass das was in der Aufgabe steht das gleiche ist. Ich weiß nur nicht, wie man das dann als Beweis aufschreiben soll.

Sei injektiv, also es gelte Aussage . Ferner sei



Da injektiv ist, folgt daraus schon , also .

Also gilt:
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ok, da habe ich die Aufgabe falsch verstanden.
Dann sind meine Beweise für i und ii also sinnlos.
Ok, dann habe ich jetzt die Fage, wie ich zeige das i -> ii gilt.
Bei ii weiß ich, das g sozusagen ist, richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ok, dann habe ich jetzt die Fage, wie ich zeige das i -> ii gilt.

Indem du einfach zu einer injektiven Abbildung ganz konkret eine Abbildung konstruierst, so dass ist. Du musst dir ja nur überlegen, was machen muss.

Zitat:
Original von maho12
Bei ii weiß ich, das g sozusagen ist, richtig?

Nein, nicht ganz. Damit überhaupt existiert, müsste ja auch noch surjektiv sein, davon steht da aber nichts. Du weißt ja nicht, was mit den Elementen macht, die nicht in liegen. Diese kann dann ja gar nicht "umkehren". Darum braucht man auch noch die Surjektivität.

Damit wirklich die Umkehrfunktion ist, muss so beschaffen sein, dass und ist. Erst DANN ist . Aber wie gesagt: Damit es das gibt, muss erst einmal bijektiv sein.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Indem du einfach zu einer injektiven Abbildung ganz konkret eine Abbildung konstruierst, so dass ist. Du musst dir ja nur überlegen, was machen muss.


Ich hab doch aber die Abbildung von g schon vorgegeben: ...
Wenn nicht, was soll das dann für eine Abbildung sein, wenn ich die gar nicht brauche?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ich hab doch aber die Abbildung von g schon vorgegeben:

Ja, aber wie muss g denn nun aussehen?

Du musst hier unterscheiden zwischen den Elementen in B, die von f angenommen werden (denn f bildet ja von A nach B ab) und denen, die von f nicht angenommen werden (f muss ja nicht surjektiv sein).
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Steh gerade auf dem Schlauch ... keine Ahnung was du meinst.
Was meinst du mit "aussehen"?

Was auch klar ist: g(f(a))=a und damit g(b)=a ... das ist bestimmt nicht das was du wissen willst.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Wir wollen ein g basteln, so dass die Komposition die Identität ist (auf der Menge A).



Wir müssen jetzt für jedes ein passendes Bild unter angeben, damit ergibt.

Jetzt betrachten wir zwei Fälle: Sei . Dann gibt es zu genau ein , so dass ist. "Genau eins" deshalb, weil f injektiv ist. Also muss dieses auf abbilden, sozusagen "zurückschicken". Dann gilt nämlich .

Damit sind wir eigentlich fast schon fertig, und vermutlich meintest du auch das. Aber etwas gibt es noch zu beachten:

Was machen wir jetzt mit den Elementen , die nicht in liegen? Also mit ? (denk dran, f muss ja nicht surjektiv sein, also kann es solche geben)

Denn auch diese Elemente haben ein Anrecht darauf, dass ihnen ein Bild zuordnet. Sonst ist ja gar keine Abbildung! Denn g bildet von B nach A ab, also muss g JEDES Element aus B in irgendeiner Weise nach A abbilden.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Wenn nur bei vorkommt, heißt das: (hast du ja schon gesagt). Aber das wird vermutlich noch nicht reichen.
Bleiben die dann nicht für sich?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Wenn nur bei vorkommt, heißt das:

Das ist keine sinnvolle Aussage. Was soll bedeuten?

Zitat:
Original von maho12
Bleiben die dann nicht für sich?

Da kann ich ebenfalls nichts mit anfangen.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Das erste soll bedeuten das b' nicht in bild f ist.
Und das zweite soll heißen, das die übrig bleiben. Das sie nicht mit in das Bild b geordnet werden können.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Das erste soll bedeuten das b' nicht in bild f ist.
Und das zweite soll heißen, das die übrig bleiben. Das sie nicht mit in das Bild b geordnet werden können.

Das wussten wir ja auch vorher schon. Ich seh schon...

Wir können mit diesen machen, was wir wollen. Wir müssen sie nur auf irgendein Element aus schicken. Das hat keinerlei Auswirkung auf die Komposition , denn bildet nur von nach ab und innerhalb der Komposition kann das g nur mit den Elementen aus B "weiter machen", die f zur Verfügung stellt.

Man kann also irgendein festes hernehmen und vollständig definieren:



So ist als Abbildung vollständig definiert und erfüllt
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ok, jetzt versteh ich es.
Danke für deine Hilfe.
Kurze Frage noch: Kann man bei den b' dann eigentlich schreiben f(b')=a'?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ich hoffe, dir ist klar, dass die beiden Folgerungen



und



noch nicht ausreichen, um die Äquivalenz der drei Aussagen zu beweisen.

Edit:

Zitat:
Kurze Frage noch: Kann man bei den b' dann eigentlich schreiben f(b')=a'?

Jedes Element aus wird auf abgebildet. Man kann schreiben

maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ich dachte, das wäre die Lösung der Aufgabe.
Was für Richtungen sollen das noch sein? Ich bin doch auf alle Aussagen eingegangen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ich dachte, das wäre die Lösung der Aufgabe.

Dann ist dir offenbar der Begriff "Äquivalenz" nicht klar. Und ich möchte dir dringend nahelegen, diese grundlegenden Dinge mal zu verinnerlichen. Die Eigenleistung von dir in diesem Thread war bisher eigentlich komplett null, ich hab alles alleine gemacht. Und ich habe den Eindruck, dass das auch daran liegt, dass dir die ganzen Begriffe, die hier verwendet werden, überhaupt nicht richtig vertraut sind. Und dann sind solche Aufgaben natürlich sinnlos.

Der Verdacht kam ja schon gleich zu Beginn auf, als nach und nach klar wurde, dass du die Aufgabe überhaupt nicht verstanden hattest.

Du nimmst doch aus diesen Aufgaben auch nichts mit, wenn du nicht verstehst, was hier eigentlich gemacht wird. Du hast doch übermorgen spätestens alles wieder vergessen. Und dann hätte man es auch gleich sein lassen können.

Sorry, aber so kann das nicht funktionieren.

Wo hast du jetzt z.B.



bewiesen? Nirgends! Also bist du auch noch nicht fertig.

Mitdenken musst du schon... sonst ist das hier Zeitverschwendung.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ich bin im ersten Semester (was grade erst begonnen hat) und ja, das Thema ist nicht so mein Fall, sonst würde ich ja nicht hier rein schreiben und meine Fragen stellen. Ich denke mit, aber wenn man diese ganze Materie noch nicht durchdrungen hat, ist es schwer auf die Lösung zu kommen.

Ich habe iii ->i noch gar nicht bewiesen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ich habe iii ->i noch gar nicht bewiesen.

Möchtest du das denn jetzt noch machen? Oder wenigstens versuchen? Ich hab jetzt irgendwie erwartet, dass da noch was kommt... ? Oder hast du das schon fertig?

Wenn (iii) gilt: Muss f dann injektiv sein? Vergleich die Aussage in (iii) mal mit der Definition von Injektivität (bzw. es gibt ja mehrere, zu einander äquivalente Definitionen, schau mal, ob eine davon sich darauf übertragen lässt).
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Hab versucht es zu beweisen:



Damit gilt: f injektiv.

Ist der Beweis, richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ist der Beweis, richtig?

Ehrlich gesagt verstehen ich den "Beweis" gar nicht. Was ist c1? Was ist c2? Was ist c? Und was ist idc?

Davon abgesehen arbeitest du sehr unsauber mit Gleichheitszeichen. Warum ist zum Beispiel



(was auch immer die Ausdrücke nun bedeuten mögen) ???

Dir müsste aufgefallen sein, dass ich meinen Beweisen jedes Mal, wenn ich irgendeinen neuen Buchstaben eingeführt habe, erstmal geklärt habe, was dieser Buchstabe darstellt (sofern er nicht schon in der Aufgabenstellung klar vorgegeben war). Das musst du auch machen, wie soll ein Korrekturleser sonst wissen, was du damit meinst?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Also:
Die Abbildung sein, genau dann wenn . (das ist vorgegeben)
Nun soll f in injektiv sein. Richtig?

Damit f injektiv ist, muss auch injektiv sein. Richtig? (Damit wäre auch vorrausgesetzt das g injektiv ist.)

Stimmt das bis jetzt?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Also:
Die Abbildung sein, genau dann wenn . (das ist vorgegeben)
Nun soll f in injektiv sein. Richtig?

Damit f injektiv ist, muss auch injektiv sein. Richtig? (Damit wäre auch vorrausgesetzt das g injektiv ist.)

Wo soll das überhaupt hinführen? Und wieso taucht jetzt wieder ein g auf? Wo arbeiten wir hier mit g?

Der letzte Satz ist überdies auch falsch. Wenn die Komposition injektiv ist, folgt daraus nur, dass injektiv ist. Über sagt das nichts aus.

Wir wissen:



für alle Abbildungen .

Oder anders aufgeschrieben: Für alle gilt:



Und das entspricht doch HAARGENAU der Definition von Injektivität (oder einer der möglichen Definitionen). Das heißt, man muss das nur eben kurz hinschreiben und das war dann schon der ganze "Beweis." Zu zeigen ist hier (fast) nichts.

Damit hat man schon erledigt.

Dass du das nicht siehst, bestätigt nur meine Vermutung, dass du die Definitionen nicht im Kopf hast. (oder nicht verstanden)

Was fehlt denn jetzt noch an Richtungen?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ich hab verstanden das injektiv allgemein bedeutet: Wenn für alle .

Und das ich g statt h geschrieben habe, liegt daran, das ich noch über andere Mathehausaufgaben sitze.

Trotzdem danke.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
ii->i
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
ii->i

Äh... ja. Und nun?

Kriegst du das hin?
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Würde behaupten das funktioniert genauso.
Für alle gilt:
.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Für alle gilt:
.

Wieder: Keine Ahnung, was das sein soll.

Erst steht da , und dann arbeitest du mit . Und dann scheinst du irgendwie die Komposition als injektiv anzugeben. Aber anstatt, wie in der Aufgabe verlangt, von der Komposition auszugehen, fängst du einfach mit an, was aber was völlig anderes ist. Das ist sogar überhaupt nicht sinnvoll definiert, was du da hingeschrieben hast, denn und kommen wohl vermutlich aus , und bildet doch eigentlich von nach ab. Macht also alles keinen Sinn.

Aussage (ii): Es gibt ein g, so dass



Zeige nun, dass f injektiv sein muss.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
a1 und a2 sollten Elemente von A sein...
Stimmt, macht kein Sinn, das es auf einmal sein soll.

Für gilt: .
(Das g(f(a)) verunsichert mich grade ... also ich weiß das es so heißt, aber das auf der anderen Seite bloß a steht. Funktioniert das da so?)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Du hast doch jetzt überhaupt nichts gemacht.

Voraussetzung:



Wir wollen nun zeigen, dass f injektiv ist. Also nehmen wir uns zwei Elemente . Sei nun



Beweise jetzt .
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Mein Gedankengang wäre folgender gewesen:
damit ist bewiesen das g injektiv, und damit wird gezeigt das f(a1)=f(a2) gilt und das beweist f ist injektiv und daraus folgt a1=a2.

Und wie ich die Lage einschätze wird das eh wieder falsch sein.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Mein Gedankengang wäre folgender gewesen:

Naja, dass das gilt, ist ja das einzige, was man eben kurz "begründen" muss (auch wenn's banal ist). Bzw. diesen Schritt sollte man eben so auch hinschreiben:

Wenn ist, dann ist auch Und damit .

Man kann es als Gleichungskette auch so schreiben:



Im zweiten Schritt wurde da eben benutzt.

Zitat:
damit ist bewiesen das g injektiv [...]

Wir haben nicht bewiesen, dass g injektiv ist! Können wir auch gar nicht. Weil g gar nicht injektiv sein muss.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Ok.
Ich bin mir jetzt nicht sicher ... für die Aufgabe gibt's 6 BE und wir haben erst 4 Beweise. Heißt das man müsste noch ii->iii und iii->ii beweisen? Wobei nicht wüsste, wie das funktionieren sollte.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von maho12
Ich bin mir jetzt nicht sicher ... für die Aufgabe gibt's 6 BE und wir haben erst 4 Beweise. Heißt das man müsste noch ii->iii und iii->ii beweisen? Wobei nicht wüsste, wie das funktionieren sollte.

Die aufgabe ist vollständig gelöst.

ii -> iii beispielsweise haben wir zwar nicht direkt bewiesen. Wir haben aber ii -> i und auch i -> iii bewiesen. Das impliziert doch dann auch ii -> iii.

Für iii -> ii kann man ähnlich argumentieren.

Eigentlich hätten auch schon drei Beweise ausreichen können, wir haben das hier nur ungeschickt gewählt (wegen dem holperigen Anfang, vermute ich). Ist aber auch egal.
maho12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Gut.
Dann danke für deine Hilfe.
ngmiduc Auf diesen Beitrag antworten »
hallo
halllo,

für den beweis i -> ii

kann man das ganze denn so beweisen, indem man einfach die konstrktion einer solche abbildung g hinschreibt ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Abbildungen sind gleich/äquivalent
Zitat:
Original von ngmiduc
für den beweis i -> ii

kann man das ganze denn so beweisen, indem man einfach die konstrktion einer solche abbildung g hinschreibt ?

Ja. Warum denn nicht? Und so haben wir es hier doch auch gemacht.

Zitat:
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