Jordannormalform (Verständnis)

29.10.2012, 21:31

zualr

Jordannormalform (Verständnis)

Hallo zusammen,

ich hoffe dei Frage wurde noch nicht gestellt, wenn doch dann tut es mir leid habe ich nicht gefunden in der SuFu.

Meine Frage ist die folgende

und zwar wenn ich die Jordannormalform(JNF) bestimmen muss/will. Dann gucke ich mir zuerst die Eigenraeume an mit ihrer algebraischen und geometrischen Vielfachheit. Wenn beides uebereinstimmt habe ich diagonalgestalt.

Wenn ich aber jetzt Beispielsweise

f: V->V einen End(V) habe und mein Charakteristisches Polynom ist h(x) = (x-1)^2(x-2)

Damit weiß ich Automatisch ich habe mindestens 2 Bloecke, außerdem weiß ich der Block zum Ew 2 ist 1x1. Nun mein Problem, wenn jetzt die dimension von Eig(1) = 1,weiß ich ich habe JNF und muss theoretisch ker(1*I-Darstellungsmatrix)^2 berechnen. in dem Fall einer 3x3 matrix wuerde ich nicht rechnen aber das zu verstehen wuerde ich gerne, warum ich das Quadraat berechnen muss

MfG

Zualr

PS: schnelle erklaerung wäre super

30.10.2012, 10:01

Reksilat

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RE: Jordannormalform (Verständnis)
Hallo zualr,

In Deinem Beispiel musst Du wirklich nicht weiter rechnen, denn wenn dim(Eig(1))=1 ist, dann kann es ja nur einen 2x2-Block zum Eigenwert 1 geben. Augenzwinkern

Im Allgemeinen berechnet man für jeden Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Dimensionen von $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}((\lambda I-A)^n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1,2,... \end{eqnarray*}$
Die Idee dabei ist, dass zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} k\times k \end{eqnarray*}$ -Jordan Blöcke $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-B)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-B)^2=2 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-B)^k=k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-B)^{k+1}=k \end{eqnarray*}$
D.h. ab dem Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wird diese Reihe konstant.

Wenn die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ jetzt also zum Beispiel einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit algebraischer Vielfachheit 10 hat und $\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-A)=4 \end{eqnarray*}$ ist, so gibt es in der JNF vier Blöcke zu diesem Eigenwert. Ist nun $\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-A)^2=7 \end{eqnarray*}$ , so muss genau ein Block die Dimension 1 haben, da sich bei so vielen Blöcken die Dimension des Kerns nicht weiter erhöht.
Drei Blöcke haben eine größere Dimension.
Ist $\begin{eqnarray*} \dim {\rm Ker}(\lambda I-A)^3=9 \end{eqnarray*}$ so gibt es einen Block der Dimension 2, da es drei Blöcke der Dimension $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ gibt, die Dimension des Kerns sich aber nur um 2 erhöht.
Es bleiben dann zwei Blöcke, welche die Dimensionen 3 und 4 haben müssen – da muss man dann nicht mehr weiter rechnen.

Allgemein kann man die Anzahl der Blöcke dann so bestimmen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_...rdanbl.C3.B6cke

Gruß
Reksilat

30.10.2012, 20:02

zualr

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Danke,

fuer die Antwort das mit den Formeln, war ich gestern leider in hektik und vergessen den Latex-Modus zu nutzen.

Vielen dank fuer die Erklaerung.

30.10.2012, 20:47

zualr

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Zitat:

Original von zualr
Danke,

fuer die Antwort das mit den Formeln ist mir bekannt, nur war ich gestern leider in Hektik und habe vergessen den Latex-Modus zu nutzen.

Vielen dank fuer die Erklaerung.

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Jordannormalform (Verständnis)

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