Ker(f) Untergruppe von Ker(f o g) |
| 30.10.2012, 13:09 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ker(f) Untergruppe von Ker(f o g) Es seien (G,.), (G',*), (G'',+) Gruppen, f:G->G', g:G'->G'' Gruppenhomomorphismen, h:=g°f die Komposition von f und g. a) Zeigen Sie, dass h ein Gruppenhomomorphismus ist. b) Weißen sie nach, dass Ker(f) eine Untergruppe von Ker(g°f) ist. Meine Ideen: a) war kein problem das zu lösen mit den bekannten Definitionen. b) da steh ich irgendwie auf der Leitung. Hab schon alles mögliche versucht, alle möglichen Definitionen und Angaben auf einen Zettel geschrieben .. aber ich komm nicht weiter. Was ich weiß: h:=g°f:G->G'' ist Gruppenhomomorphismus. Damit ist nach einem unserer Sätze sowohl ker(f) als auch ker(h) Untergruppen von G. Aber jetzt fehlt mir irgendwie die zündende Idee. Hat irgendjemand nen kleinen Tipp? |
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| 30.10.2012, 13:30 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ker(f) Untergruppe von Ker(f o g)
Das ist schonmal gut. Nach dieser Erkenntnis musst Du jetzt nur noch eine einzige Sache beweisen. 
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| 30.10.2012, 13:46 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Langt es also zu zeigen, dass Ker(f) eine Teilmenge von Ker(g o f) ist? Sprich ich nehme mir ein Element aus Ker(f) und zeige, dass es ebenfalls in Ker(g o f) liegt? |
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| 30.10.2012, 13:57 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Eine Untergruppe ist schließlich nichts anderes als eine Teilmenge einer Gruppe, die mit derselben Verknüpfung wiederum selbst eine Gruppe bildet. |
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| 30.10.2012, 14:25 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also habe ich doch richtig gedacht. Vielen Dank. Das mache ich doch dann so: Sei also x \in Ker(f). Dann ist f(x)=e' das neutrale Element in G'. Weiter gilt (g°f)=g(f(x))=g(e')=?? Hab ich was falsch gemacht oder irgendeinen Denkfehler drin? |
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| 30.10.2012, 14:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sieht gut aus. 
Wie geht's weiter? |
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| 30.10.2012, 14:30 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weiter gilt (g°f)(x)=g(f(x))=g(e')=e'' das neutrale Elemt in G''. Und damit wäre ja alles gezeigt oder?
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| 30.10.2012, 14:33 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. 
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| 30.10.2012, 14:34 | Peter Lustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, Vielen Dank
Leichter als ich gedacht habe
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