Eigenwert und Eigenraum

07.02.2007, 12:15

martin85

Eigenwert und Eigenraum

Hallo,
ich habe die folgende Matrix
$\begin{eqnarray*} M:=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (3,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$
Ich soll jetzt alle Eigenwerte und eine Basis jeden Eigenraums angeben. Da ich aus gesundheilichen Gründen in der letzten Woche die Vorlesungen nicht besuchen konnte, habe ich eine Wissenslücke. Kann mir da jemand sagen, wie das geht?
Wenn ich es aus dem Buch richtig verstanden habe, geht das irgendwie über Diagonalen. Aber ich verstehe nicht wie.

07.02.2007, 12:29

uwe-b

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Berechne die Nullstellen von:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda) = det (\lambda E - M) \end{eqnarray*}$ .

dann hast du die Eigenwerte.

07.02.2007, 12:30

Bjoern1982

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Hallo

Sei t Eigenwert der Matrix M und E die Einheitsmatrix

Zur Eigenwertbestimmung musst du folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} det (M-t\cdot E)=0 \end{eqnarray*}$

Zur Bestimmung des Eigenraums zum jeweiligen Eigenwert t von M musst du den Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} M-t\cdot E \end{eqnarray*}$ bestimmen, der aus allen Vektoren besteht, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

07.02.2007, 12:35

uwe-b

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Man kann auch $\begin{eqnarray*} det ( tE - M) = 0 \end{eqnarray*}$ berechnen... die ist äquivalent. Die ist meistens einfacher.

07.02.2007, 12:37

Bjoern1982

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Immer diese Doppelposts....einmal reicht doch.....dann kann ein Moderator von mir aus meinen Post löschen...danke smile

Gruß Björn

07.02.2007, 15:22

martin85

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ok das wäre ja dann so:
$\begin{eqnarray*} det( \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix})=0 \end{eqnarray*}$
Und wie löse ich nun diese Gleichung?
Schreibe ich dann z.B. für die erste Zeile das so
$\begin{eqnarray*} \lambda_1-1+3-3=0 \end{eqnarray*}$
?

07.02.2007, 15:37

klarsoweit

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Nein. Du mußt hier die Determinante einer Matrix bestimmen. Und so, wie du das machst, geht das nicht.

Bestimme erstmal $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT: etwas Kummer macht mir die Angabe "aus $\begin{eqnarray*} (3,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ ". Habe jetzt keine Idee, was damit gemeint ist.

07.02.2007, 15:46

martin85

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Ich frage mich jetzt nur wie ich das bestimme: $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.02.2007, 16:01

klarsoweit

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simple Matrizenumformungen, sprich:

Wie wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert?
Wie werden 2 Matrizen subtrahiert?

07.02.2007, 16:10

martin85

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Ein Skalar wird mit jeder Zahl der Matrix multipliziert.
Für die Einheitsmatrix wäre das dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber wie zwei Matrizen subtrahiert werden, weiß ich nicht.

07.02.2007, 16:18

uwe-b

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Sie werden jeweils die Einträge subtrahiert...

07.02.2007, 16:23

martin85

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dann müsste es so sein:
$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -3 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Oder?

07.02.2007, 17:27

Bjoern1982

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Zitat:

EDIT: etwas Kummer macht mir die Angabe "aus $\begin{eqnarray*} (3,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ ". Habe jetzt keine Idee, was damit gemeint ist.

Wahrscheinlich soll man nur rationale Eigenwerte betrachten und reelle bzw komplexe außer Acht lassen bzw ausschließen, falls solche denn auftreten sollten.

07.02.2007, 19:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von martin85
dann müsste es so sein:
$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -3 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Oder?

OK. Davon jetzt die Determinante ausrechnen. das gibt ein Polynom 3. Grades. davon dann die Nullstellen bestimmen.

07.02.2007, 22:12

martin85

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Wenn ich die Determinante löse, kommt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} (\lambda -1)\cdot (\lambda+5)\cdot (\lambda-4)+108-18\cdot (\lambda+5)-(\lambda-1)\cdot (-18)-(-9)\cdot (\lambda-4)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-4\lambda^2+5\lambda^2-20\lambda-\lambda^2+4\lambda-5\lambda+20-18\lambda-90+18\lambda-18+9\lambda-36 \end{eqnarray*}$
Alles zusammengefasst ergibt:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-12\lambda-16=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-12\lambda=16 \end{eqnarray*}$
Und an dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter.

08.02.2007, 02:20

pflaume

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Ganz oben steht diese Matrix:
$\begin{eqnarray*} M:=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (3,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$

Die erste Zeile, letzter Wert ist eine $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . Aber in den weiteren Rechnung wurde daraus eine $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ , anstatt $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ .

Daraus wurde dann diese
$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -3 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn die Aufgabenstellung richtig ist, dann müsste die Determinantengleichung so heißen:

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -5 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Sorry, aber du musst die Determinante nochmal neu ausrechnen.

EDIT: Ich bekomme folgendes Charakteristisches Polynom raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-78\lambda+260=0 \end{eqnarray*}$ .

08.02.2007, 08:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von pflaume
Ganz oben steht diese Matrix:
$\begin{eqnarray*} M:=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (3,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$

Die erste Zeile, letzter Wert ist eine $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ . Aber in den weiteren Rechnung wurde daraus eine $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ , anstatt $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$ .

Sowas ärgerliches. geschockt

Das habe ich glatt übersehen.

Zitat:

Original von pflaume
EDIT: Ich bekomme folgendes Charakteristisches Polynom raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-78\lambda+260=0 \end{eqnarray*}$ .

Und ich habe raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-24\lambda-40=0 \end{eqnarray*}$

Eine wirklich vertrackte Matrix. Augenzwinkern

08.02.2007, 11:36

Bjoern1982

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Darauf kam ich dann auch....und dann macht das mit dem Körper Q auch Sinn, da eine ganze Zahl und zwei reelle Zahlen als Eigenwert rauskommen.

Gruß Björn

08.02.2007, 20:08

martin85

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Ich habe jetzt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} 12\lambda -8\lambda ^2-\lambda ^3-16=0 \end{eqnarray*}$
Mal davon abgesehen das jeder etwas anderes rausbekommt habe ich folgende Frage: Wie löse ich die Gleichung mit Lambda 3. Grades?

09.02.2007, 08:34

klarsoweit

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Also rechnen wir mal:

$\begin{eqnarray*} det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 3 & -5 \\ -3 & \lambda+5 & -3 \\ -6 & 6 & \lambda-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\lambda-1) \cdot (\lambda+5)(\lambda-4)+18) - 3 \cdot (-3(\lambda-4)-18) -5 \cdot (-18 +6(\lambda+5)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda-1) \cdot (\lambda^2+\lambda-2) - 3 \cdot (-3\lambda-6) -5 \cdot (6\lambda+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^3 -3\lambda+2 +9\lambda+18 -30\lambda-60 \end{eqnarray*}$

Ab Polynomen 3. Grades ist es meistens so, daß man eine Nullstelle rät und durch anschließende Polynomdivision den Grad reduziert.

Und ein Plot ist da auch recht hilfreich:

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