Relationen

30.10.2012, 19:53

chillerStudent

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Relationen

Hallo,

folgende Aufgabe:

Es gibt eine Menge $\begin{eqnarray*} M:={1,2,3,4,5} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} R\subset M X M \end{eqnarray*}$ die Relation auf M, deren jeweiligen Relationsmengen $\begin{eqnarray*} [a]:={b\in M|aRb} \end{eqnarray*}$ wie folgt gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} [1]={1,3,4}, [2]={2}, [3]={1,3,4}, [4]={1,3,4}, [5]={1,2,3,4} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich entscheiden, ob R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} [5]={1,2,3,4} \end{eqnarray*}$ ist nicht reflexiv, weil das Element 5 nicht zu sich selbst äquivalent ist.

Symmetrisch??

transitiv??

30.10.2012, 20:05

Leopold

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Hinweis: Wenn du in LATEX geschweifte Klammern setzen willst, mußt du \{ bzw. \} schreiben.

Reflexivität ist keine Eigenschaft einer Relationsmenge, sondern der gesamten Relation. Du kannst also nicht sagen: " $\begin{eqnarray*} [5] \end{eqnarray*}$ ist nicht reflexiv, weil ...", sondern mußt sagen: " $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist nicht reflexiv, weil ..."

$\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ steht zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in Relation. Das sagt gerade die letzte Relationsmenge. Und umgekehrt?

30.10.2012, 20:40

chillerStudent

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umgekehrt:
1 ist nicht zu 5 in Relation. << geraten

Ist meine Begründung zu reflexiv richtig, dass R nicht reflexiv ist ? Konnte ich jetzt nicht so richtig rauslesen.

30.10.2012, 20:46

Leopold

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Du mußt doch nur in der Liste von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} [1] \end{eqnarray*}$ , nachschauen. Da stehen ja diejenigen, die sich mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in Relation befinden.

30.10.2012, 20:56

chillerStudent

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Zitat:

Original von Leopold
Du mußt doch nur in der Liste von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} [1] \end{eqnarray*}$ , nachschauen. Da stehen ja diejenigen, die sich mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in Relation befinden.

Was neues gelernt smile

smile

Also 1 ist nicht zu 5 in Relation. << sicher
Heißt das jetzt, dass es nicht symmetrisch ist oder diskutieren wir hier noch über Reflexivität?

30.10.2012, 21:00

Leopold

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Zitat:

Original von chillerStudent
Heißt das jetzt, dass es nicht symmetrisch ist oder diskutieren wir hier noch über Reflexivität?

"es" ist ein Sich-Drücken um den richtigen Begriff und damit auch um das richtige Verständnis. Was heißt hier "es"!

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30.10.2012, 21:04

chillerStudent

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Zitat:

Heißt das jetzt, dass es nicht symmetrisch ist oder diskutieren wir hier noch über Reflexivität?

mit "es" ist hier die Menge R gemeint.

30.10.2012, 21:07

Leopold

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Zitat:

Original von chillerStudent
Heißt das jetzt, dass es nicht symmetrisch ist ... ?

Beantworte dir diese Frage selbst. Symmetrisch heißt eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , wenn aus $\begin{eqnarray*} x ~ R ~ y \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} y ~ R ~ x \end{eqnarray*}$ folgt. Ist das hier der Fall?

30.10.2012, 21:17

chillerStudent

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Zitat:

Beantworte dir diese Frage selbst. Symmetrisch heißt eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , wenn aus $\begin{eqnarray*} x ~ R ~ y \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} y ~ R ~ x \end{eqnarray*}$ folgt. Ist das hier der Fall?

Das ist hier nicht der Fall smile

smile

danke

Wie ist es denn nun mit der Reflexivität?
Es heißt ja, jedes Objekt der Menge ist zu sich selbst äquivalent. Also die letzte Gleichung [5]={1,2,3,4} beweist das Gegenteil. Richtig?

Was ist transitiv?

30.10.2012, 21:24

Leopold

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Zitat:

Original von chillerStudent
Also die letzte Gleichung [5]={1,2,3,4} beweist das Gegenteil. Richtig?

Ja, und zwar weil in der Liste der 5 die 5 nicht vorkommt.

Zitat:

Original von chillerStudent
Was ist transitiv?

Definitionen schaut man in den Unterlagen nach. Da fragt man nicht im MatheBoard.

30.10.2012, 21:33

Gast-Kassel

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Transitiv wurde in der ersten TI - Logik Übung angesprochen und eine Definition an die Tafel geschrieben.

Ich glaube er hat das auch in der Vorlesung erwähnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2012, 21:39

chillerStudent

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Transitiv:

(a,b) aus R und (b,c) aus R ergibt (a,c) aus R

Ich glaube das R transitiv ist, weil ich kein Gegenbeispiel gefunden habe.
Ein Beispiel dafür ist (1,3) (3,4) (1,4)

Richtig?

30.10.2012, 21:44

chillerStudent

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Zitat:

Original von Gast-Kassel
Transitiv wurde in der ersten TI - Logik Übung angesprochen und eine Definition an die Tafel geschrieben.

Ich glaube er hat das auch in der Vorlesung erwähnt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider habe ich die Vorlesung aus wichtigen Gründen verpasst. Falls du mitgeschrieben hast, könntest du mir netterweise das abgeschriebene zum kopieren geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Ups, falsch gelesen. Ich dachte an eine andere Vorlesung, nicht an TI. Ja das stimmt, dass es da besprochen wurde. Komme eher langsam mit.

30.10.2012, 21:47

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 1,3,4 \end{eqnarray*}$ spielen ja dieselbe Rolle. Jede Relationsmenge eines dieser Elemente enthält ja sich selbst und die andern. Ferner kommen sie in der Relationsmenge der $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ gemeinsam vor und in der der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gemeinsam nicht vor. Ich würde daher mein Augenmerk bei der Überprüfung der Transitivität eher auf die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ richten und was die so mit den andern anstellen.

30.10.2012, 21:52

chillerStudent

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hahaha, wie logisch. Voll übersehen.

Also ist R ebenfalls nicht transitiv, weil (2,2) (2,2) (2,2)

Ich habe mal eine Fragen zur Schreibweise: Was bedeutet $\begin{eqnarray*} aRb \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2012, 21:57

Leopold

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Zitat:

Original von chillerStudent
hahaha, wie logisch. Voll übersehen.

Also ist R ebenfalls nicht transitiv, weil (2,2) (2,2) (2,2)

Ich habe mal eine Fragen zur Schreibweise: Was bedeutet $\begin{eqnarray*} aRb \end{eqnarray*}$ ?

???

Wo ist da ein Widerspruch zur Transitivität?

Wer sagt denn, daß $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nicht transitiv ist? Eigentlich wollte ich dich nur zu mehr Vorsicht anhalten. Vielleicht ist ja $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ transitiv. Vielleicht aber auch nicht ...
Du mußt das im Detail überprüfen.

$\begin{eqnarray*} a \, R \, b \end{eqnarray*}$ ist eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray*} (a,b) \in R \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} b \in [a] \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 22:29

chillerStudent

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Ist R eine Äquivalenzrelation auf M ?

Ich vermute nein, weil vielleicht alle drei Eigenschaften gelten müssen ?!

30.10.2012, 22:35

chillerStudent

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Zitat:

Wo ist da ein Widerspruch zur Transitivität?

mhhh.. Stimmt! Das ist kein Widerspruch. Warum sollte man da Vorsichtig sein?
Mit "Im Detail prüfen" meinst du alle Möglichkeiten aufschreiben?

30.10.2012, 22:44

Leopold

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Zitat:

Original von chillerStudent
Mit "Im Detail prüfen" meinst du alle Möglichkeiten aufschreiben?

Im Prinzip ja. Oder zumindest im Kopf alle durchgehen.

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